（I）求異面直線MN和CD₁所成的角；
（II）證明：EF//平面B₁CD₁.

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在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，X軸的正半軸為極軸，取與直角坐標系相同的長度單位建立極坐標系.曲線C₁的參數方程為：（為參數）；射線C₂的極坐標方程為：,且射線C₂與曲線C₁的交點的橫坐標為
(I )求曲線C₁的普通方程；
(II)設A、B為曲線C₁與y軸的兩個交點，M為曲線C₁上不同于A、B的任意一點，若直線AM與MB分別與x軸交于P,Q兩點，求證|OP|.|OQ|為定值.

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，、分別為、的中點。
（I）求證：平面；
（Ⅱ）求三棱錐的體積；
（Ⅲ）求平面與平面所成的銳二面角大小的余弦值。

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一、選擇題（每小題5分，滿分60分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

B

B

C

D

A

C

A

B

A

C

A

D

二、填空題（每小題4分，滿分16分）

13．        14．         15．100          16．③④

三、解答題（第17、18、19、20、21題各12分，第22題14分，共74分）

17．（I）

   （Ⅱ）

            函數的值域為

18．解：（I）記“甲回答對這道題”、“乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件

、、，則，且有即

（Ⅱ）的可能取值：0，1，2，3

0

1

2

3

19．（I）設是的中點，連結，

則四邊形為方形，，故，

即

又

平面

   （Ⅱ）由（I）知平面，

又平面，，

取的中點，連結又，

則，取的中點，連結則

為二面角的平面角

連結，在中，，

取的中點，連結，，在中，

二面角的余弦值為

法二：

（I）以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則

又因為

所以，平面

   （Ⅱ）設為平面的一個法向量。

由得

取，則又，

設為平面的一個法向量，由，，

得取取

設與的夾角為，二面角為，顯然為銳角，

，即為所求

20．解：（I）定義域為

        時，時，

        故的單調遞增區間是，單調遞減區間是

（Ⅱ） 即： 令 

      所以

      在單調遞減，在上單調遞增

      在上有兩個相異實根

21．解：（I）由題意知：

              橢圓的方程為

（Ⅱ）設

      切線的方程為：

      又由于點在上，則

             同理：

      則直線的方程：    則直線過定點（1，0）

（Ⅲ）就是A到直線PQ的距離d的

        取得等號

     的最小值是

22．解：（I）

（Ⅱ）原式兩邊取倒樹，則

     上式兩邊取對數，則

解得

（Ⅲ）

由題中不等式解得，對于任意正整數均成立

注意到，構造函數

則設函數

由對成立，得為上的減函數，

所以即對成立，因此為上的減函數，

即，故