在2012年達州市高2013屆第一次診斷性考試中，某校高2013屆10班A、B兩數
學小組的數學成績如莖葉圖所示，設A、B兩小組的平均數、方差和在區間[90，150]
上的頻率分別為

.

xA

、

σ

2 A

、p_A和

.

xB

、

σ

2 B

、p_B，則下面結論正確的是（　　）

A、 . xA = . xB ， σ 2 A ＞ σ 2 B ，pA=pB

B、 . xA = . xB ， σ 2 A ＜ σ 2 B ，pA=pB

C、 . xA ＞ . xB ， σ 2 A ＞ σ 2 B ，pA=pB

D、 . xA = . xB ， σ 2 A = σ 2 B ，pA＜pB

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某校在一次“診斷性”考試中，對該年級的1000名考生的數學成績進行統計分析，成績的頻率分布直方圖如圖所示，規定125及其以上為優秀．
（1）下表是這次考試成績的頻數人布表，求正整數a，b的值；

區間	人數
[115，120）	50
[120，125）	a
[125，130）	350
[130，135）	300
[135，140）	b

（2）現在要用分層抽樣的方法從這1000人中抽取40人的成績進行分析，求其中成績為優秀的學生人數；
（3）在（2）中抽取的40名學生中，要隨機選取2名學生參加座談會，記“其中成績為優秀的人數”為X，求X的分布列與數學期望．

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一、選擇題（每小題5分，滿分60分）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

D

C

D

B

B

A

C

C

A

D

A

D

二、填空題（每小題4分，滿分16分）

13．-6        14．           15．           16．②③

三、解答題（第17、18、19、20、21題各12分，第22題14分，共74分）

17．（I）

   （Ⅱ）

            函數的值域為

18．解：（I）記“甲回答對這道題”、“乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件

、、，則，且有即

（Ⅱ）由（1）

則甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對該題的概率為：

19．解：法一

（I）設是的中點，連結，

則四邊形為方形，，故，

即

又

平面

   （Ⅱ）由（I）知平面，

又平面，，

取的中點，連結又，

則，取的中點，連結則

為二面角的平面角

連結，在中，，

取的中點，連結，，在中，

二面角的余弦值為

法二：

（I）以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則

又因為

所以，平面

   （Ⅱ）設為平面的一個法向量。

由得

取，則又，

設為平面的一個法向量，由，，

得取取

設與的夾角為，二面角為，顯然為銳角，

，即為所求

20．解：（I）或

        故的單調遞增區間是和

         單調遞減區間是（0，2）

（Ⅱ）

  在和遞增，在（-1，3）遞減。

有三個相異實根

21．解：（I）設的公差為，則：

（Ⅱ）當時，，由，得

      當時，，

   ，即

   是以為首項，為公比的等比數列。

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：

22．解：（I）設過與拋物線的相切的直線的斜率是，

         則該切線的方程為：

         由得

         則都是方程的解，故

（Ⅱ）設

      由于，故切線的方程是：

則

，同理

則直線的方程是，則直線過定點（0，2）

（Ⅲ）要使最小，就是使得到直線的距離最小，而到直線的距離

當且僅當即時取等號

設

由得，則