已知橢圓：的左焦點，若橢圓上存在一點，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段相切于線段的中點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知兩點及橢圓:,過點作斜率為的直線交橢圓于兩點,設線段的中點為,連結,試問當為何值時,直線過橢圓的頂點?

(Ⅲ) 過坐標原點的直線交橢圓:于、兩點，其中在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連結并延長交橢圓于，求證：

如圖，已知中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過D作，垂足為E，連結OE。若，分別求AB，OE的長。

(1)　　                   (2)

圖13

(1)當點C為的中點時(如圖13(1)),求證:CF =EF;

(2)當點C不是的中點時(如圖13(2)),試判斷CF與EF的相等關系是否保持不變,并證明你的結論.

設,稱為的調和平均數，為的加權平均數。如圖，為線段上的點，記，為中點，以為直徑作半圓。過點作的垂線交半圓于，連結。作，垂足為,過點作的垂線交半圓于點,連接。則圖中線段的長度是的算術平均數，線段           的長度是的調和平均數，線段         的長度   是的加權平均數。

已知平面上一定點C（4，0）和一定直線為該平面上一動點，作，垂足為Q，且.

   （1）問點P在什么曲線上？并求出該曲線的方程；

   （2）設直線與（1）中的曲線交于不同的兩點A、B，是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過點D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由.