題目列表(包括答案和解析)
設為實數,首項為
,公差為
的等差數列
的前n項和為
,滿足
(1)若,求
及
;
(2)求d的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了數列的求和的運用以及通項公式的運用。第一問中,利用和已知的
,得到結論
第二問中,利用首項和公差表示,則方程是一個有解的方程,因此判別式大于等于零,因此得到d的范圍。
解:(1)因為設為實數,首項為
,公差為
的等差數列
的前n項和為
,滿足
所以
(2)因為
得到關于首項的一個二次方程,則方程必定有解,結合判別式求解得到
已知函數其中
為自然對數的底數,
.(Ⅰ)設
,求函數
的最值;(Ⅱ)若對于任意的
,都有
成立,求
的取值范圍.
【解析】第一問中,當時,
,
.結合表格和導數的知識判定單調性和極值,進而得到最值。
第二問中,∵,
,
∴原不等式等價于:,
即, 亦即
分離參數的思想求解參數的范圍
解:(Ⅰ)當時,
,
.
當在
上變化時,
,
的變化情況如下表:
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
1/e |
∴時,
,
.
(Ⅱ)∵,
,
∴原不等式等價于:,
即, 亦即
.
∴對于任意的,原不等式恒成立,等價于
對
恒成立,
∵對于任意的時,
(當且僅當
時取等號).
∴只需,即
,解之得
或
.
因此,的取值范圍是
已知函數的圖象過坐標原點O,且在點
處的切線的斜率是
.
(Ⅰ)求實數的值;
(Ⅱ)求在區間
上的最大值;
(Ⅲ)對任意給定的正實數,曲線
上是否存在兩點P、Q,使得
是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在
軸上?說明理由.
【解析】第一問當時,
,則
。
依題意得:,即
解得
第二問當時,
,令
得
,結合導數和函數之間的關系得到單調性的判定,得到極值和最值
第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在
軸兩側。
不妨設,則
,顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設要求的兩點P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
(Ⅰ)當時,
,則
。
依題意得:,即
解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
①當時,
,令
得
當變化時,
的變化情況如下表:
|
|
0 |
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
極小值 |
單調遞增 |
極大值 |
|
又,
,
!
在
上的最大值為2.
②當時,
.當
時,
,
最大值為0;
當時,
在
上單調遞增!
在
最大值為
。
綜上,當時,即
時,
在區間
上的最大值為2;
當時,即
時,
在區間
上的最大值為
。
(Ⅲ)假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求,則點P、Q只能在
軸兩側。
不妨設,則
,顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形,∴
即 (*)若方程(*)有解,存在滿足題設要求的兩點P、Q;
若方程(*)無解,不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
若,則
代入(*)式得:
即,而此方程無解,因此
。此時
,
代入(*)式得: 即
(**)
令
,則
∴在
上單調遞增, ∵
∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對于,方程(**)總有解,即方程(*)總有解。
因此,對任意給定的正實數,曲線
上存在兩點P、Q,使得
是以O為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在
軸上
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