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試題

(Ⅱ)判定函數()= 是否為閉函數?并說明理由, 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

若函數f（x）同時滿足下列兩個性質，則稱其為“規則函數”
①函數f（x）在其定義域上是單調函數；
②在函數f（x）的定義域內存在閉區間[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是

a

2

，且最大值是

b

2

．
請解答以下問題：
（Ⅰ）判斷函數f（x）=x²-2x，（x∈（0，+∞））是否為“規則函數”？并說明理由；
（Ⅱ）判斷函數g（x）=-x³是否為“規則函數”？并說明理由．若是，請找出滿足②的閉區間[a，b]；
（Ⅲ）若函數h(x)=

x-1

+t是“規則函數”，求實數t的取值范圍．

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給出函數封閉的定義：若對于定義域D內的任意一個自變量x₀，都有函數值f（x₀）∈D，稱函數y=f（x）在D上封閉．
（1）若定義域D₁=（0，1），判斷函數g（x）=2x-1是否在D₁上封閉，并說明理由；
（2）若定義域D₂=（1，5]，是否存在實數a，使得函數f(x)=

5x-a

x+2

在D₂上封閉？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（3）利用（2）中函數，構造一個數列{x_n}，方法如下：對于給定的定義域D₂=（1，5]中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…在上述構造數列的過程中，如果x_i（i=1，2，3，4…）在定義域中，構造數列的過程將繼續下去；如果x_i不在定義域中，則構造數列的過程停止．
①如果可以用上述方法構造出一個無窮常數列{x_n}，求實數a的取值范圍．
②如果取定義域中任一值作為x₁，都可以用上述方法構造出一個無窮數列{x_n}，求實數a的取值范圍．

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已知函數y=f（x），x∈D，如果對于定義域D內的任意實數x，對于給定的非零常數m，總存在非零常數T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，則稱函數f（x）是D上的m級類增周期函數，周期為T．若恒有f（x+T）=m•f（x）成立，則稱函數f（x）是D上的m級類周期函數，周期為T．
（1）試判斷函數f（x）= $數學公式$ 是否為（3，+∞）上的周期為1的2級類增周期函數？并說明理由；
（2）已知函數f（x）=-x²+ax是[3，+∞）上的周期為1的2級類增周期函數，求實數a的取值范圍；
（3）下面兩個問題可以任選一個問題作答，如果你選做了兩個，我們將按照問題（Ⅰ）給你記分．
（Ⅰ）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上m級類周期函數，且y=f（x）是[0，+∞）上的單調遞增函數，當x∈[0，1）時，f（x）=2^x，求實數m的取值范圍．
（Ⅱ）已知當x∈[0，4]時，函數f（x）=x²-4x，若f（x）是[0，+∞）上周期為4的m級類周期函數，且y=f（x）的值域為一個閉區間，求實數m的取值范圍．

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給出函數封閉的定義：若對于定義域D內的任意一個自變量x₀，都有函數值f（x₀）∈D，稱函數y=f（x）在D上封閉．
（1）若定義域D₁=（0，1），判斷函數g（x）=2x-1是否在D₁上封閉，并說明理由；
（2）若定義域D₂=（1，5]，是否存在實數a，使得函數f(x)=

5x-a

x+2

在D₂上封閉？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（3）利用（2）中函數，構造一個數列{x_n}，方法如下：對于給定的定義域D₂=（1，5]中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…在上述構造數列的過程中，如果x_i（i=1，2，3，4…）在定義域中，構造數列的過程將繼續下去；如果x_i不在定義域中，則構造數列的過程停止．
①如果可以用上述方法構造出一個無窮常數列{x_n}，求實數a的取值范圍．
②如果取定義域中任一值作為x₁，都可以用上述方法構造出一個無窮數列{x_n}，求實數a的取值范圍．

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對于函數

（

，D是此函數的定義域），若同時滿足下列條件：
①

在D內單調遞減或單調遞增；
②存在區間[a，b]

D，使

在[a，b]上的值域為[a，b]；
那么把

叫閉函數；
（1）求閉函數

符合條件②的區間[a，b]；
（2）判斷函數

是否為閉函數？并說明理由；
（3）

是閉函數，求實數k的取值范圍。

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一．選擇題：

1．B 2．D 2．B 3．C 4．C　5． A 6．C 7．B 8．A 9．D 10．D

二．填空題：

11．a+b 12．{x|x>2, 或0<x<1} 13．4，或－1 14． 15．120º 16．②④

三．解答題：

17．由題設，得，，，雙曲線為， …… 2分

直線AB的方程為， ……………………… 4分

代入到雙曲線方程得：4x²+20ax-29a²=0， ……………………… 6分

又，由得：

12=， ……………………… 9分

解得a²=1，則b²=3，所以為所求�！� 12分

18．解：（Ⅰ）由題設可得 f '(x)=3x²+2ax+b， ……………………… 2分

∵ f '(x)的圖像過點（0，0），（2，0）

∴ ……………………… 5分

解之得：a=－3，b=0 ……………………… 7分

（Ⅱ）由f '(x)=3x²－6x＞0，得x＞2，或x＜0； ……………………… 9分

∴ 當在（－∞，0）上,在(0,2)上,在上,

故在（-∞0）,上遞增,在(0,2)上遞減,

因此在x=2處取得極小值,所以x₀=2， ……………………… 12分

由f (2)=－5，得c=－1，

∴f（x）=x³－3x²－1 ……………………… 14分

19．：解法一：

(Ⅰ) 過P作MN∥B₁C₁，分別交A₁B₁、D₁C₁于M、N，則M、N A₁B₁、D₁C₁的中點，連MB，NC由四邊形BCNM是平行四邊形， ……………………… 2分

∵E、M分別為AB、A₁B₁中點，∴A₁E∥MB

又MB平面PBC，∴A₁E∥平面PBC。 ……………………… 4分

(Ⅱ) 過A作AF⊥MB，垂足為F，連PF，

∵BC⊥平面ABB₁A₁，AF平面ABB₁A₁，

∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，

∴∠APF就是直線AP與平面PBC所成的角， ………… 6分

設AA₁=a，則AB=a，AF=，AP=，sin∠APF=

所以，直線AP與平面PBC所成的角是arcsin。 ………… 9分

（Ⅲ）連OP、OB、OC，則OP⊥BC，由三垂線定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，則△PBC為正三角形。即PB=PC=BC ………… 12分

所以k=。

反之，當k=時，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱錐為正三棱錐，

∴O在平面PBC內的射影為的重心 ………… 14分

解法二：（建立空間坐標系）

20．解 (Ⅰ)由=³在[a ，b]上為減函數，

得可得a = ?1 ， b = 1 ，∴ 所求區間是[?1，1]． ………… 5分

(Ⅱ)取₁ = 1 ， ₂ = 10，可得()不是減函數；取₁ =，可得()在(0 ， +∞)不是增函數，所以()不是閉函數． ………… 10分

(Ⅲ)設函數符合條件②的區間為[a ，b]，則

故a ， b是方程=的兩個實根，命題等價于

有兩個不等實根． ………… 13分

當k時，解得：，∴ ；

當時，這時無解．

所以 k的取值范圍是． ………… 16分

21．解：(Ⅰ)由f(x)=x³+ax²+bx+c關于點(1,1)成中心對稱，所以

x³+ax²+bx+c+(2－x)³+a(2－x)²+b(2－x)+c=2 ………… 3分

對一切實數x恒成立．得：a=－3，b+c=3，

對由f '(1)=0，得b=3，c=0，

故所求的表達式為：f(x)= x³－3x²+3x． ………… 7分

(Ⅱ) a_n₊₁=f (a_n)= a_n³－3 a_n²+3 a_n (1)

令b_n=a_n－1，0<b_n<1，由代入(1)得：b_n₊₁=，b_n=，………… 10分

∴ 1＞b_n ＞b_n₊₁＞0

(a₁－a₂)?(a₃－1)+(a₂－a₃)?(a₄－1)+…+(a_n－a_n₊₁)?(a_n₊₂－1)=

＜=b₁-b_n₊₁＜b₁＜1。 ………… 14分

（本題證法較多，其它證明方法得分可參照以上評分標準分步給分）

參考答案

一．選擇題：

1．B 2．D 2．B 3．C 4．C　5． A 6．C 7．B 8．A 9．D 10．D

二．填空題：

11．a+b 12．{x|x>2, 或0<x<1} 13．4，或－1 14． 15．120º 16．②④

三．解答題：

17．由題設，得，，，雙曲線為， …… 2分

直線AB的方程為， ……………………… 4分

代入到雙曲線方程得：， ……………………… 6分

又，由得：

， ……………………… 9分

解得，則，所以為所求�！� 12分

18．解：（Ⅰ）由題設可得 f '(x)=3x²+2ax+b， ……………………… 2分

∵ f '(x)的圖像過點（0，0），（2，0）

∴ ……………………… 5分

解之得：a=－3，b=0 ……………………… 7分

（Ⅱ）由f '(x)=3x²－6x＞0，得x＞2，或x＜0； ……………………… 9分

∴ 當在（－∞，0）上,在(0,2)上,在上,

故在（－∞，0）,上遞增,在(0,2)上遞減,

因此在x=2處取得極小值,所以x₀=2， ……………………… 12分

由f (2)=－5，得c=－1，

∴f（x）=x³－3x²－1 ……………………… 14分

19．：解法一：

(Ⅰ) 過P作MN∥B₁C₁，分別交A₁B₁、D₁C₁于M、N，則M、N A₁B₁、D₁C₁的中點，連MB，NC由四邊形BCNM是平行四邊形， ……………………… 2分

∵E、M分別為AB、A₁B₁中點，∴A₁E∥MB

又MB平面PBC，∴A₁E∥平面PBC。 ……………………… 4分

(Ⅱ) 過A作AF⊥MB，垂足為F，連PF，

∵BC⊥平面ABB₁A₁，AF平面ABB₁A₁，

∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，

∴∠APF就是直線AP與平面PBC所成的角， ………… 6分

設AA₁=a，則AB=a，AF=，AP=，sin∠APF=

所以，直線AP與平面PBC所成的角是arcsin。 ………… 9分

（Ⅲ）連OP、OB、OC，則OP⊥BC，由三垂線定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，則△PBC為正三角形。即PB=PC=BC ………… 12分

所以k=。

反之，當k=時，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱錐為正三棱錐，

∴O在平面PBC內的射影為的重心 ………… 14分

解法二：（建立空間坐標系）

20．解 (Ⅰ)由=³在[a ，b]上為減函數，

得可得a = ?1 ， b = 1 ，∴ 所求區間是[?1，1]． ………… 5分

(Ⅱ)取₁ = 1 ， ₂ = 10，可得()不是減函數；取₁ =，可得()在(0 ， +∞)不是增函數，所以()不是閉函數． ………… 10分

(Ⅲ)設函數符合條件②的區間為[a ，b]，則

故a ， b是方程=的兩個實根，命題等價于

有兩個不等實根． ………… 13分

當k時，解得：，∴ ；

當時，這時無解．

所以 k的取值范圍是． ………… 16分

21．解：(Ⅰ)由f(x)=x³+ax²+bx+c關于點(1,1)成中心對稱，所以

x³+ax²+bx+c+(2－x)³+a(2－x)²+b(2－x)+c=2 ………… 3分

對一切實數x恒成立．得：a=－3，b+c=3，

對由f '(1)=0，得b=3，c=0，

故所求的表達式為：f(x)= x³－3x²+3x． ………… 7分

(Ⅱ) a_n₊₁=f (a_n)= a_n³－3 a_n²+3 a_n (1)

令b_n=a_n－1，0<b_n<1，由代入(1)得：b_n₊₁=，b_n=，………… 10分

∴ 1＞b_n ＞b_n₊₁＞0

(a₁－a₂)?(a₃－1)+(a₂－a₃)?(a₄－1)+…+(a_n－a_n₊₁)?(a_n₊₂－1)=

＜=b₁-b_n₊₁＜b₁＜1。 ………… 14分

（本題證法較多，其它證明方法得分可參照以上評分標準分步給分）

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