梯形問題三角形或平行四邊形問題即通過添加輔助線把梯形分割或拼接而轉化為三角形或平行四邊形.要解答這類題目必須熟悉梯形中常用的添加輔助線的方法. 總之.四邊形在整張試卷中所占的比例還是比較大的.再復習中要多見題型. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

梯形問題通常是通過分割和拼接轉化為三角形或平行四邊形，其分割拼接的方法有如下幾種( 如圖) ：
(1) 平移一腰，即從梯形的一個頂點______ ，把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形( 圖1 所示) ；
(2)從同一底的兩端______，把梯形分成一個矩形和兩個直角三角形(圖2所示)；
(3)平移對角線，即過底的一端______，可以借助新得的平行四邊形或三角形來研究梯形(圖3所示)；
(4)延長梯形的兩腰______，得到兩個三角形，如果梯形是等腰梯形，則得到兩個等腰三角形(圖4所示)；
(5)以梯形一腰的中點為______，作某圖形的中心對稱圖形(圖5、圖6所示)；    
(6)以梯形一腰為______，作梯形的軸對稱圖形(圖7所示)。
  

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11、如圖，將一張等腰直角三角形紙片沿中位線DE剪開后，可以拼成的四邊形是（　�。�

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操作1：如圖1，一三角形紙片ABC，分別取AB、AC的中點D、E，連接DE，沿DE將紙片剪開，并將其中的△ADE紙片繞點E旋轉180°后可拼合（無重疊無縫隙）成平行四邊形紙片BCFD．
操作2：如圖2，一平行四邊形紙片ABCD，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD邊的中點，沿EF剪開并將其中的△BFE紙片繞點E旋轉180°到△AF1E位置；沿HG剪開并將其中的△DGH紙片繞點H旋轉180°到△AG1H位置；沿FG剪開并將△CFG紙片放置于△AF1G1的位置，此時四張紙片恰好拼合（無重疊無縫隙）成四邊形FF1G1G．則四邊形FF1G1G的形狀是
 
．
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操作、思考并探究：
（1）如圖3，如果四邊形ABCD是任意四邊形（不是梯形或平行四邊形）的紙片，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點．依次沿EF、FG、GH、HE剪開得到四邊形紙片EFGH．請判斷四邊形紙片EFGH的形狀，并說明理由．
（2）你能將上述四邊形紙片ABCD經過恰當地剪切后拼合（無重疊無縫隙）成一個平行四邊形紙片？請在圖4上畫出對應的示意圖．
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（3）如圖5，E、F、G、H分別是四邊形ABCD各邊的中點，若△AEH、△BEF、△CFG、△DGH的面積分別為S1、S2、S3、S4，且S1=2，S3=5，則四邊形ABCD是面積是
 
．（不要求說明理由）

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一個矩形薄木版在太陽光下形成的投影可能是
平行四邊形或線段
平行四邊形或線段
（在“梯形”、“矩形”、“平行四邊形”、“三角形”、“線段”、“一般四邊形”中選擇兩個即可）．

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如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=9cm，CD=3cm，AD=6cm．點P從點A出發，以2cm/s的速度沿AB向終點B運動；點Q從點C出發，以1cm/s的速度沿CD向終點D運精英家教網動（P、Q兩點中，有一個點運動到終點時，所有運動即終止），設P、Q同時出發并運動了t秒．
（1）當DQ=AP時，四邊形APQD是平行四邊形，求出此時t的值；
（2）當PQ將梯形ABCD分成一個平行四邊形和一個等邊三角形時，求t的值；
（3）試問是否存在這樣的t，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半？若存在，求出這樣的t的值；若不存在，請說明理由．

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一、填空題：

1．60°．

2．答案不惟一，如：AE=CF，∠AEB=∠CFD,∠ ABE=∠CDF；

3．1；

4.4。

5.60

7．2－2     

8.15。

9.5

10.4

11.5

12. 2,3,n。

14．

 

15. (-8,0)。

 

16.6。

17. .平行四邊形。

18.60

19．4，12           

二、選擇題：

1．C

 

2．C

3.B

4.B

 

5.B

6.A

 

7.C。

 

8.B。

 

9.C

 

10.D

 

 

11.C。

 

12.B

13.B　

14.C　

15.D

16. C

17．C   

18．D    

19.D

20.C

21.D

22.D。

三、解答題：

1．（1）如圖答2，因為AD∥BC，AB∥DC  ------------------------------------------------- 2分

所以四邊形ABCD為平行四邊形．---------------------------------------------------------------- 3分

分別過點B、D作BF⊥AD，DE⊥AB，垂足分別為點E、F．

則BE = CF．-------------------------------------------------------------------------------------------- 4分

因為∠DAB =∠BAF，所以Rt△DAB≌Rt△BAF．--------------------------------------------- 5分

所以AD = AB．            

所以四邊形ABCD為菱形．-------------------------------------------------------------------------- 6分

（2）存在最小值和最大值．-------------------------------------------------------------------------- 7分

① 當∠DAB = 90°時，菱形ABCD為正方形，周長最小值為8；---------------------------8分

② 當AC為矩形紙片的對角線時，設AB = x，如圖答3，在Rt△BCG中，

，．所以周長最大值為17．-------------------------------------------9分

          

 

 

                                                                                                 

 

 

 

 

 

 

 

 

  2．證明：  ∵EF垂直平分AC，∴EF⊥AC，且AO＝CO-------------------------------1′       

              證得：△AOE≌△COF-----------------------------------------------------------3′

          證得：四邊形AECF是平行四邊形------------------------------------------------5′

　　　    由AC⊥EF可知：四邊形AECF是菱形 -------------------------------------------6′

 

 

5．（本題滿分8分）

解：（1）方法一：如圖①

∵在□ ABCD中，AD∥BC

∴∠DAB＋∠ABC＝180°                  ………………………1分

∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC

∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF              ………………………2分

∴2∠BAE＋2∠ABF＝180°

即∠BAE＋∠ABF＝90°                 ………………………3分

∴∠AMB＝90°

∴AE⊥BF．                                     …………………………4分

圖②

 

 

 

 

 

 

方法二：如圖②,延長BC、AE相交于點P     

∵在□ABCD中，AD∥BC

∴∠DAP＝∠APB                                               …………………………1分

∵AE平分∠DAB

∴∠DAP＝∠PAB                                               …………………………2分

∴∠APB＝∠PAB

∴AB＝BP                                                                   ………………………3分

∵BF平分∠ABP

∴:AP⊥BF

即AE⊥BF．                                                            ………………………4分

(2)方法一：線段DF與CE是相等關系，即DF＝CE     ………………5分

∵在□ABCD中，CD∥AB

∴∠DEA＝∠EAB

又∵AE平分∠DAB

∴∠DAE＝∠EAB

∴∠DEA＝∠DAE

∴DE＝AD                                         ………………………6分

同理可得，CF＝BC                               ………………………7分

又∵在□ABCD中，AD＝BC

∴DE＝CF

∴DE－EF＝CF－EF

即DF＝CE．                                         ………………………8分

方法二：如右圖,延長BC、AE設交于點P，延長AD、BF相交于點O       …5分

∵在□ABCD中，AD∥BC

∴∠DAP＝∠APB                                                   

∵AE平分∠DAB

∴∠DAP＝∠PAB                                                  

∴∠APB＝∠PAB

∴BP＝AB

同理可得，AO＝AB                 

    ∴AO＝BP                                   ………………………6分

        ∵在□ABCD中，AD＝BC

        ∴OD＝PC

 又∵在□ABCD中，DC∥AB

       ∴△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA                  ………………………7分

       ∴＝，＝

       ∴DF＝CE．                                                                     ………………………8分

 

6.　（1）（2）略　　�。�3）設BC=x，則DC＝x  ,BD＝，CF＝（－1）x

GD2=GE?GB=4－2      DC2+CF2=(2GD)2 　　即　x2+（－1）2x2＝4（4－2）

（4－2）x2＝4（4－2）  　　x2＝4　　　正方形ABCD的面積是4個平方單位

 

 

7．（本小題滿分5分）

證明：∵  AB∥CD

∴                …………1分

∵ 

∴  △ABO≌△CDO                 …………3分

∴                      …………4分

∴  四邊形ABCD是平行四邊形       …………5分

 

 

 

 

 

11．證明：（1）①在和中，

，，，????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

②，

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

，

 

12．（本題7分）

解：（1）在梯形中，，

，，

，

．

，

，

．

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

，，

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

與的函數表達式是

；??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

（2）

．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

當時，有最大值，最大值為．??????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分

 

 

 

13．證明：菱形中，．???????????????????? 1分

分別是的中點，

．?????????????????? 3分

又，．????????????????? 5分

．??????????????????????????????? 7分

14.

15．證明：四邊形是平行四邊形，，．

．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

平分，．????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

又，．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

 

16．解：（1）①40．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

②0． ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（2）不合理．例如，對兩個相似而不全等的矩形來說，它們接近正方形的程度是相同的，但卻不相等．合理定義方法不唯一，如定義為．越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形與正方形的形狀差異越大；當時，矩形就變成了正方形．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

17．解：（1）正方形中，，．

又，因此，即菱形的邊長為．

在和中，，

，，

．．

，，

，即菱形是正方形．

同理可以證明．

因此，即點在邊上，同時可得，

從而．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

（2）作，為垂足，連結，

，，

，．

．

在和中，，，

．

，即無論菱形如何變化，點到直線的距離始終為定值2．

因此．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（3）若，由，得，此時，在中，．

相應地，在中，，即點已經不在邊上．

故不可能有．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

另法：由于點在邊上，因此菱形的邊長至少為，

當菱形的邊長為4時，點在邊上且滿足，此時，當點逐漸向右運動至點時，的長（即菱形的邊長）將逐漸變大，最大值為．

此時，，故．

而函數的值隨著的增大而減小，

因此，當時，取得最小值為．

又因為，所以，的面積不可能等于1．????????????????????? 9分

18.

19．證明：在等腰中，，．

　　　　　，，．又，

　　　　　．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

　　　　　．．

　　　　　．．．?????????????????? 5分

　　　　　又不平行，四邊形是梯形．??????????????????????????????????? 7分

　　　　　四邊形是等腰梯形．（理由：同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形，或兩腰相等的梯形是等腰梯形）?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

 

20．解：（1）在矩形中，，，

．……………………1分

　　　　，．

　　　　，即，

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