題目列表(包括答案和解析)
（12分）圓、橢圓、雙曲線都有對稱中心，統稱為有心圓錐曲線，它們統一的標準方程為
.圓的很多優美性質可以類比推廣到有心圓錐曲線中,如圓的“垂徑定理”的逆定理:圓的平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦. 類比推廣到有心圓錐曲線：已知直線
與曲線
：交于
兩點，
的中點為
，若直線和
(
為坐標原點)的斜率都存在，則
.這個性質稱為有心圓錐曲線的“垂徑定理”.
（Ⅰ）證明有心圓錐曲線的“垂徑定理”；
（Ⅱ）利用有心圓錐曲線的“垂徑定理”解答下列問題：
① 過點
作直線與橢圓
交于兩點，求的中點的軌跡
的方程；
② 過點
作直線
與有心圓錐曲線
交于
兩點，是否存在這樣的直線使點為線段
的中點？若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由.
設
，常數
，定義運算“
”：
，定義運算“
”：
；對于兩點
、
，定義
．
(Ⅰ)若
≥0，求動點P( ,
) 的軌跡
；
(Ⅱ)已知直線
與(Ⅰ)中軌跡交于、兩點，若
，試求
的值；
(Ⅲ) 在(Ⅱ)中條件下，若直線
不過原點且與
軸交于點S，與軸交于點T，并且與(Ⅰ)中軌跡C交于不同兩點P、Q , 試求
的取值范圍．
設
、
∈R，常數
，定義運算“
”：
，定義運算“
”：
；對于兩點
、
，定義
．
(Ⅰ)若
≥0，求動點P( ,
) 的軌跡
；
（Ⅱ）已知直線
與(Ⅰ)中軌跡交于、兩點，若
，試求
的值；
(Ⅲ) 在(Ⅱ)中條件下，若直線
不過原點且與
軸交于點S，與軸交于點T，并且與(Ⅰ)中軌跡C交于不同的兩點P、Q , 試求
的取值范圍．
=0的距離為3.(1)求橢圓的方程.
(2)是否存在斜率為k(k≠0)的直線l,使l與已知曲線交于不同兩點M、N,且有|AM|=|AN|?若存在,求k的范圍;若不存在,請說明理由.
過圓錐曲線焦點的直線與此圓錐曲線交于P1、P2兩點，以P1P2為直徑的圓與此焦點對應的準線相切，則此圓錐曲線是（ ）
A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.不確定
評分說明：
學科網
1．本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分參考制訂相應的評分細則。學科網
2．對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分。學科網
3．解答右側所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數。學科網
4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分。學科網
一、選擇題（每小題5分，本題滿分共60分）學科網
題號
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
答案
D
C
C
B
D
C
A
B
B
C
D
A
二、填空題（每小題5分，本題滿分共20分）學科網
（13）
．
（14）1． （15）
．
（16）4．學科網
三、解答題（本大題共6小題，共70分）學科網
（17）（本小題滿分10分）學科網
證明：
學科網
……4分學科網
……6分學科網
、
均為正數，
……8分學科網
. ……10分學科網
（18）（本小題滿分12分）學科網
解：設點
是曲線上任意一點，點
屬于集合
，
……2分學科網
由兩點間的距離公式得
……4分學科網
整理，得
，
……8分學科網
配方，得
學科網
所求的曲線的軌跡方程為 ……10分學科網
學科網
它表示以
為圓心，半徑等于2的圓 ……12分學科網
（19）（本小題滿分12分）學科網
解：（I）由已知可設橢圓的方程為
……2分學科網
由條件知
解得
……4分學科網
……5分學科網
橢圓的標準方程方程為
……6分學科網
（Ⅱ）
點P在橢圓上 
； ……8分學科網
又
，解得
， ……10分學科網
在△
中，
，
的余弦值為
……12分
（20）（本小題滿分12分）
解：設公司在廣西電視臺和桂林電視臺做廣告時間分別為
分鐘和
分鐘，
總收益為
元 …………1分
由題意得
…………4分
目標函數為
． …………6分
二元一次不等式組等價于
作出二元一次不等式組所表示的平面區域，即可行域． …………8分
如圖：作直線
，即
平移直線
，從圖中可知，當直線過點時，目標函數取得最大值．
聯立
解得
點的坐標為（100，200）． …………10分
（元） …………11分
答：該公司在廣西電視臺做100分鐘廣告，在桂林電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最
大，最大收益是70萬元． …………12分
（21）（本小題滿分12分）
解：（1）原不等式可化為
等價于
，即
， …………3分
由題設
是方程
的解，
，得
． …………4分
原不等式等價于
或
，
． …………6分
（2）由
，得原不等式為
…………8分
．
當
時，原不等式的解集為
； …………10分
當
時，原不等式的解集為
…………12分
（22）（本小題滿分12分）
解：（I）設P的坐標為
，
由
得
…………2分
…………4分
化簡得
，
點在焦點在軸上的雙曲線上，其方程為 ………6分
（Ⅱ）設
、
點的坐標分別為
、
，
由
得
， …………7分
， …………8分
與雙曲線交于兩點，△
，即
，
解得
． …………9分
若以AB為直徑的圓過
，則
，
，
即
…………10分
，
解得
…………11分
即
，
故滿足題意的
值存在，且值為
…………12分
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