（2012•佛山二模）已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個交點為F1(-

3

，0)，而且過點H(

3

，

1

2

)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設橢圓E的上下頂點分別為A₁，A₂，P是橢圓上異于A₁，A₂的任一點，直線PA₁，PA₂分別交x軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

（2011•西城區二模）由世界自然基金會發起的“地球1小時”活動，已發展成為最有影響力的環保活動之一，今年的參與人數再創新高．然而也有部分公眾對該活動的實際效果與負面影響提出了疑問．對此，某新聞媒體進行了網上調查，所有參與調查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”態度的人數如下表所示：

	支持	保留	不支持
20歲以下	800	450	200
20歲以上（含20歲）	100	150	300

（Ⅰ）在所有參與調查的人中，用分層抽樣的方法抽取n個人，已知從“支持”態度的人中抽取了45人，求n的值；
（Ⅱ）在持“不支持”態度的人中，用分層抽樣的方法抽取5人看成一個總體，從這5人中任意選取2人，求至少有1人20歲以下的概率；
（Ⅲ）在接受調查的人中，有8人給這項活動打出的分數如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把這8個人打出的分數看作一個總體，從中任取1個數，求該數與總體平均數之差的絕對值超過0.6的概率．

（2012•佛山二模）已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點為F₁（-

3

，0），而且過點H（

3

，

1

2

）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設橢圓E的上下頂點分別為A₁，A₂，P是橢圓上異于A₁，A₂的任一點，直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為G．證明：線段OT的長為定值．

（2012•江門一模）某學校每星期一供應1000名學生A、B兩種菜．調查表明，凡在這星期一選A種菜的，下星期一會有20%改選B種菜；而選B種菜的，下星期一會有30%改選A種菜．設第n個星期一選A、B兩種菜分別有a_n、b_n名學生．
（1）若a₁=500，求a₂、a₃；
（2）求a_n，并說明隨著時間推移，選A種菜的學生將穩定在600名附近．

（2012•自貢三模）如圖所示，己知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別是CC₁，BC的中點，P點在A₁B₁上，且滿足

A1P

=λ

A1B1

（λ∈R）．
（I）證明：PN⊥AM；
（II）當λ取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求出該最大角的正切值；
（III）在（II）條件下求P到平而AMN的距離．