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已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁、F₂，短軸兩個端點為A、B，且四邊形F₁AF₂B是邊長為2的正方形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若C、D分別是橢圓長的左、右端點，動點M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點P．證明：

OM

•

OP

為定值．
（3）在（2）的條件下，試問x軸上是否存異于點C的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

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一、選擇題  B文（B）ACDB   CACB（文A）B    AD

二、填空題  13.   14.1200     15. （理）3（文）1   16.2

三、解答題

17. 解：，且.

    ① ………………3分

       ②

又A為三角形的內角，所以sinA= ………………6分

 ………………9分

 ………………12分

18.解：由題意p,q中有且僅有一個為真，一個為假，…………2分

由p真m>2，……5分

 q真<01<m<3, ……7分

所以，若p假q真，則1<m≤2……9分

 若p真q假，則m≥3……11分

綜上所述：m∈(1,2)∪[3，+∞]．…………12分

19.證明（1）：過點D作

，垂足為H.連結HB、GH,

所以

又，且=

所以

由三垂線定理得…………（理、文）6分

(2)（理）

知

所以

連結DG，則垂足G,所以…………9分

作垂足為M,連結DM,則為二面角D-BF-C的平面角

所以，在中，

 .…………12分

（注：也可用空間向量來解,步驟略）

（文）

又∵AD∥面BFC

所以＝

＝ …………9分

=0，得x=

所以x=時有最大值，其值為.…………12分

20.解：（1）由已知條件分析可知，在甲、乙兩地分別投資5萬元的情況下欲獲利12.5萬元，須且必須兩地都不發生洪水.

故所求的概率為P=（1－0.6）×（1－0.5）＝0.2………………（理）5分（文）6分

（2）設投資1萬元在甲地獲利萬元，則的可能取值為15萬元和－5萬元.

又此地發生洪水的概率為0.6

故投資1萬元在甲地獲利的期望為1.5×0.6＋（－0.5）×0.4＝0.7萬元.…………（理）7分

同理在乙地獲利的期望為1×0.5＋（－0.2）×0.5＝0.4萬元. …………（理）8分

設在甲、乙兩地的投資分別為x,y萬元，

則平均獲利z=0.7x+0.4y萬元.……（理）9分

（則獲得的利潤z=1.5x+y萬元.…………（文）7分）

其中x,y滿足：

如右圖，因為A點坐標為（6，4）  

所以，在甲、乙兩地的投資分別為6、4萬元時，

可平均獲利最大，

其最大值為（理）5.8萬元、（文）13萬元. …………（理、文）12分

（注：若不用線性規劃的格式求解，只要結果正確同樣給分）

21.解：（1）設平移后的右焦點為P(x,y)，

易得已知橢圓的右焦點為F₂(3,0), ………………1分

（2）易知F(0,為曲線C上的焦點，又

所以A,B,F三點共線………………5分

設

 ………………12分

（文）21.解：（1）當n為偶數時，因為f(-x)=(-x)ⁿ+1=xⁿ+1=f(x),即函數f(x)為偶函數

所以其圖象關于y軸對稱………………2分

當n為奇數時，因為f(-x)=(-x)ⁿ+1=－xⁿ+1，所以

所以其圖象關于點（0，1）中心對稱. ………………4分

（或：令g(x)=f(x)-1=xⁿ,所以g(-x)=(-x)ⁿ=-xⁿ=－g(x) ，即g(x)為奇函數，

所以g(x)的圖象關于原點對稱，故函數f(x)的圖象關于點（0，1）中心對稱.）………4分

（2）=…………6分

所以…………＃

當時；…………8分

當時，＃式兩邊同乘以x,得…*

*式－#式可得，…………12分

22.（理）解：（1）易得f(x)=+ 的定義域為[0，n]

令，得x=------------1分

所以，函數f(x)在(0,)上單調遞增，在(,n)單調遞減，

所以=------------3分

由于，所以-------------5分

因為 ，

所以--------8分

（2）令

所以=------------10分

由

；

所以

-------------12分

又，所以

相除得，由得，所以

最大   -----------14分