題目列表(包括答案和解析)
設拋物線:
(
>0)的焦點為
,準線為
,
為
上一點,已知以
為圓心,
為半徑的圓
交
于
,
兩點.
(Ⅰ)若,
的面積為
,求
的值及圓
的方程;
(Ⅱ)若,
,
三點在同一條直線
上,直線
與
平行,且
與
只有一個公共點,求坐標原點到
,
距離的比值.
【命題意圖】本題主要考查圓的方程、拋物線的定義、直線與拋物線的位置關系、點到直線距離公式、線線平行等基礎知識,考查數形結合思想和運算求解能力.
【解析】設準線于
軸的焦點為E,圓F的半徑為
,
則|FE|=,
=
,E是BD的中點,
(Ⅰ) ∵,∴
=
,|BD|=
,
設A(,
),根據拋物線定義得,|FA|=
,
∵的面積為
,∴
=
=
=
,解得
=2,
∴F(0,1), FA|=, ∴圓F的方程為:
;
(Ⅱ) 解析1∵,
,
三點在同一條直線
上, ∴
是圓
的直徑,
,
由拋物線定義知,∴
,∴
的斜率為
或-
,
∴直線的方程為:
,∴原點到直線
的距離
=
,
設直線的方程為:
,代入
得,
,
∵與
只有一個公共點,
∴
=
,∴
,
∴直線的方程為:
,∴原點到直線
的距離
=
,
∴坐標原點到,
距離的比值為3.
解析2由對稱性設,則
點關于點
對稱得:
得:,直線
切點
直線
坐標原點到距離的比值為
已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為
,以原點為圓點,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+
=0相切。
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)設P(4,0),A,B是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩個不同的點,連接PB交隨圓C于另一點E,證明直線AE與x軸相交于定點Q;
【解析】(1)離心率為得
=
,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+
=0相切,b=
=
,解得a2=4,b2=3;(Ⅱ)直線PB的方程為y=k(x-4)
素材2:動直線l經過△A1PA2的重心G,與雙曲線交于不同的兩點M、N.
試根據上述素材構建一個問題,然后再解答.
如圖,橢圓E:的左焦點為F1,右焦點為F2,離心率
。過F1的直線交橢圓于A、B兩點,且△ABF2的周長為8
(Ⅰ)求橢圓E的方程。
(Ⅱ)設動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P,且與直線x=4相較于點Q。試探究:在坐標平面內是否存在定點M,使得以PQ為直徑的圓恒過點M?若存在,求出點M的坐標;若不存在,說明理由
【解析】
已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,離心率e=,橢圓上各點到直線l:x-y+
+
=0的最短距離為1,求橢圓的方程.
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