已知函數f（x）=lg[（a²-1）x²+（a+1）x+1]．設命題p：“f（x）的定義域為R”；命題q：“f（x）的值域為R”
（1）若命題p為真，求實數a的取值范圍；
（2）若命題q為真，求實數a的取值范圍；
（3）?p是q的什么條件？請說明理由．

對于平面內的命題：“△ABC內接于圓O，圓O的半徑為R，且O點在△ABC內，連接AO，BO，CO并延長分別交對邊于A₁，B₁，C₁，則AA1+BB1+CC1≥

9R

2

”．
證明如下：

OA1

AA1

+

OB1

BB1

+

OC1

CC1

=

S△OBC

S△ABC

+

S△OAC

S△ABC

+

S△OAB

S△ABC

=1，
即：

AA1-R

AA1

+

BB1-R

BB1

+

CC1-R

CC1

=1，即

1

AA1

+

1

BB1

+

1

CC1

=

2

R

，
由柯西不等式，得(AA1+BB1+CC1)(

1

AA1

+

1

BB1

+

1

CC1

)≥9．∴AA1+BB1+CC1≥

9R

2

．
將平面問題推廣到空間，就得到命題“四面體ABCD內接于半徑為R的球O內，球心O在該四面體內，連接AO，BO，CO，DO并延長分別與對面交于A₁，B₁，C₁，D₁，則”．

已知函數f（x）=lg[（a²-1）x²+（a+1）x+1]，設命題p：“f（x）的定義域為R”；命題q：“f（x）的值域為R”。
（1）若命題p為真，求實數a的取值范圍；
（2）若命題q為真，求實數a的取值范圍；
（3）問：p是q的什么條件？請說明理由。