有n個首項都是1的等差數列，設第m個數列的第k項為a_mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差為d_m，并且a_1n，a_2n，a_3n，…，a_nn成等差數列．
（Ⅰ）證明d_m=p₁d₁+p₂d₂（3≤m≤n，p₁，p₂是m的多項式），并求p₁+p₂的值；
（Ⅱ）當d₁=1，d₂=3時，將數列d_m分組如下：（d₁），（d₂，d₃，d₄），（d₅，d₆，d₇，d₈，d₉），…（每組數的個數構成等差數列）．設前m組中所有數之和為（c_m）⁴（c_m＞0），求數列{2cmdm}的前n項和S_n．
（Ⅲ）設N是不超過20的正整數，當n＞N時，對于（Ⅱ）中的S_n，求使得不等式

1

50

(Sn-6)＞dn成立的所有N的值．

有一個湖泊受污染，其湖水的容量為V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量．現假設下雨和蒸發平衡，且污染物和湖水均勻混合．用g(t)=

p

r

+[g(0)-

p

r

]e-

r

v

t(p≥0)，表示某一時刻一立方米湖水中所含污染物的克數（我們稱其湖水污染質量分數），g（0）表示湖水污染初始質量分數．
（1）當湖水污染質量分數為常數時，求湖水污染初始質量分數；
（2）分析g(0)＜

p

r

時，湖水的污染程度如何．

有一個項數為10的實數等比數列{a_n}，S_n（n≤0）表示該數列的前n項和．
（1）當2＜k≤10時，若S_k，S₁₀，S₇成等差數列，求證a_k-1，a₉，a₆也成等差數列；
（2）研究當k∈{3，4}時，S_k，s₁₀，S₇能否成等差數列，如果能，請求出公比；如果不能，并請說明理由．