已知函數，當時，函數取得極大值.

（１）求實數的值；

（２）已知結論：若函數在區間內導數都存在，且，則存在，使得.試用這個結論證明：若，函數，則對任意，都有；

（３）已知正數，滿足，求證：當，時，對任意大于，且互不相等的實數，都有.

(本小題滿分12分)

如圖所示,有兩個獨立的轉盤、.兩個圖中三個扇形區域的圓心角分別為為、、.用這兩個轉盤玩游戲，規則如下：依次隨機轉動兩個轉盤再隨機停下（指針固定不會動,當指針恰好落在分界線時,則這次結果無效,重新開始），記轉盤指針對的數為，轉盤指針對的數為.記的值為,每轉動一次則得到獎勵分分.

（１）求<2且>1的概率；

（２）求某人玩一次這種游戲可得獎勵分的期望值；

（３）某人玩12次，求他平均可以得到多少獎勵分？

已知．

（１）求的單調區間；

（２）證明：當時，恒成立；

（３）任取兩個不相等的正數，且，若存在使成立，證明：．

【解析】（1）g(x)=lnx+，=        （1’）

當k0時，>0，所以函數g(x)的增區間為（0，+），無減區間；

當k>0時，>0,得x>k；<0，得0<x<k∴增區間（k,+）減區間為（0，k）（3’）

(2)設h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x=e, 當x變化時，h(x),的變化情況如表

所以h(x)0, ∴f(x)2x-e                    （5’）

設G(x)=lnx-(x1) ==0,當且僅當x=1時,=0所以G(x) 為減函數, 所以G(x)  G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,綜上,當x1時, 2x-ef(x)恒成立.

(3) ∵=lnx+1∴lnx0+1==∴lnx0=-1      ∴lnx0 –lnx=-1–lnx===(10’)  設H(t)=lnt+1-t(0<t<1), ==>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函數,并且H(t)在t=1處有意義, 所以H(t) <H(1)=0∵∴=

∴lnx0 –lnx>0, ∴x0 >x

下列四個命題：①在區間內任取兩個實數，則事件“恒成立”的概率是； ②從200個元素中抽取20個樣本，若采用系統抽樣的方法則應分為10組，每組抽取2個； ③函數關于（3,0）點對稱，滿足，且當時函數為增函數，則在上為減函數； ④滿足，，的有兩解．

其中正確命題的個數為（    ）

A．１          B．２        C．３        D．４