題目列表(包括答案和解析)
已知.
(1)求的單調區間;
(2)證明:當時,
恒成立;
(3)任取兩個不相等的正數,且
,若存在
使
成立,證明:
.
【解析】(1)g(x)=lnx+,
=
(1’)
當k0時,
>0,所以函數g(x)的增區間為(0,+
),無減區間;
當k>0時,>0,得x>k;
<0,得0<x<k∴增區間(k,+
)減區間為(0,k)(3’)
(2)設h(x)=xlnx-2x+e(x1)令
= lnx-1=0得x=e, 當x變化時,h(x),
的變化情況如表
x |
1 |
(1,e) |
e |
(e,+ |
|
|
- |
0 |
+ |
h(x) |
e-2 |
|
0 |
↗ |
所以h(x)0, ∴f(x)
2x-e
(5’)
設G(x)=lnx-(x
1)
=
=
0,當且僅當x=1時,
=0所以G(x) 為減函數, 所以G(x)
G(1)=0, 所以lnx-
0所以xlnx
(x
1)成立,所以f(x)
,綜上,當x
1時, 2x-e
f(x)
恒成立.
(3) ∵=lnx+1∴lnx0+1=
=
∴lnx0=
-1
∴lnx0 –lnx
=
-1–lnx
=
=
=
(10’) 設H(t)=lnt+1-t(0<t<1),
=
=
>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函數,并且H(t)在t=1處有意義, 所以H(t)
<H(1)=0∵
∴
=
∴lnx0 –lnx>0, ∴x0 >x
已知函數,其中
.
(1)當時,求曲線
在點
處的切線方程;
(2)求函數在
上的最大值.
【解析】(1)先求出x=2的導數也就是點(2,f(2))處切線的斜率,然后再利用點斜式寫出切線方程化成一般式即可.
(2)求導,然后列表研究極值,最值.要注意參數的取值范圍.
已知函數,
,其中
.
(1)若是函數
的極值點,求實數
的值;
(2)若對任意的(
為自然對數的底數)都有
≥
成立,求實數
的取值范圍.
【解析】(1)根據建立關于a的方程求a即可.
(2)本題要分別求出f(x)在[1,e]上的最小值,g(x)在[1,e]上的最大值,然后
,解關于a的不等式即可.
如圖1,在中,
,D,E分別為AC,AB的中點,點F為線段CD上的一點,將
沿DE折起到
的位置,使
,如圖2.
(Ⅰ)求證:DE∥平面
(Ⅱ)求證:
(Ⅲ)線段上是否存在點Q,使
?說明理由。
【解析】(1)∵DE∥BC,由線面平行的判定定理得出
(2)可以先證,得出
,∵
∴
∴
(3)Q為的中點,由上問
,易知
,取
中點P,連接DP和QP,不難證出
,
∴
∴
,又∵
∴
已知的展開式中第3項的系數與第5項的系數之比為
.
(1)求的值;(2)求展開式中的常數項.
【解析】(1)利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項,求出展開式中第3項與第5項的系數列出方程求出n的值.
(2)將求出n的值代入通項,令x的指數為0求出r的值,將r的值代入通項求出展開式的常數項.
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