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某校為了解學生的學科學習興趣，對初高中學生做了一個喜歡數學和喜歡語文的抽樣調查，隨機抽取了100名學生，相關的數據如下表所示：

	數學	語文	總計
初中	36	14	50
高中	24	26	50
總計	60	40	100

（1）用分層抽樣的方法從喜歡數學的學生中隨機抽取5名，高中學生應該抽取幾名？
（2）在（1）中抽取的5名學生中任取2名，求恰有1名高中學生的概率．

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1．（共12 分）解：（I），，

= ?

                                     2分

                                                 4分

= .                                                     5分

又                               6分             

函數的最大值為.                                             7分

當且僅當（Z）時，函數取得最大值為.

（II）由（Z），                          9分

得  （Z）.                                   11分

函數的單調遞增區間為[](Z).                     12

2．解：(Ⅰ) 選手甲答道題進入決賽的概率為；    ……………1分

選手甲答道題進入決賽的概率為；…………………………3分

選手甲答5道題進入決賽的概率為；   …………………5分

∴選手甲可進入決賽的概率++．        …………………7分

   (Ⅱ)依題意，的可能取值為．則有，               

，       

， …………………………10分

因此，有

ξ

3

4

5

P

．          ……………………………12分

3．（共12分）解法一：

解：（Ⅰ）且平面.-------------2分                 

為在平面內的射影.         --------3分                                            

又⊥, ∴⊥.            ----------4分

（Ⅱ） 由（Ⅰ）⊥，又⊥，

∴為所求二面角的平面角.         -------6分

又∵==4,

∴=4 .  ∵=2 , ∴=60°. -------8分

即二面角大小為60°.

（Ⅲ）過作于D，連結,            

由（Ⅱ）得平面平面,又平面,

∴平面平面,且平面平面,

∴平面.

∴為在平面內的射影.

. --------10分

在中，，

在中，，.

∴ =.                       ------------11分                       

所以直線與平面所成角的大小為.         ----12分               

解法二：解：（Ⅰ）由已知，

以點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.                             

則 ,.            -------2分  

則，.

.     

.       ----------------4分

   （Ⅱ），平面.

是平面的法向量. -------5分

設側面的法向量為,

,.

,

      .令則.

則得平面的一個法向量.               ---------6分

.       

即二面角大小為60°.     ----------8分

（Ⅲ）由（II）可知是平面的一個法向量.     --------10分

又， .   -----11分                    

所以直線與平面所成角為           ---------12分

4．解：（I）函數

    當  …………2分

    當x變化時，的變化情況如下：

―

0

+

極小值

    由上表可知，函數；

    單調遞增區間是

    極小值是         …………6分

   （II）由      …………7分

    又函數為[1，4]上單調減函數，

    則在[1，4]上恒成立，所以不等式在[1，4]上恒成立.

    即在[1，4]上恒成立.            …………10分

    又在[1，4]為減函數，

    所以

    所以                   …………12分

5．解：橢圓的左、右焦點分別為、 ，         ……2分

又，  ,      ………3分

解得，                   

橢圓的方程為 ．                       ………4分

   （Ⅱ）由，得．

設點、的坐標分別為、，則……5分

．

   （1）當時，點、關于原點對稱，則．

   （2）當時，點、不關于原點對稱，則，

由，得       即

點在橢圓上，有，

化簡，得．

，有．………………①         ……………7分

又，

由，得．……………………………②　　 　

將①、②兩式，得．

，，則且．

綜合（1）、（2）兩種情況，得實數的取值范圍是． ………………8分

（Ⅲ），點到直線的距離，

的面積

                ．           ………………………… 10分

由①有，代入上式并化簡，得．

，．                    ……………………… 11分

當且僅當，即時，等號成立．

當時，的面積最大，最大值為． ……………………… 12分

6．解：（1）

……………………4分

（2）的對稱軸垂直于x軸，且頂點為P_n，

∴設的方程為

把，

∴的方程為

∵……………………6分

∴

∴

=…………………………8分

（3）

∴S中最大數a₁=－17.…………………………10分

設公差為d，則a₁₀=

由此得

又∵∴∴

∴……………………12分

本資料來源于《七彩教育網》http://www.7caiedu.cn

2009屆新課標數學考點預測（26）：函數與方程的思想方法

《2009年新課標考試大綱》明確指出“數學知識是指《普通高中數學課程標準（實驗）》中所規定的必修課程、選修課程系列2和系列4中的數學概念、性質、法則、公式、公理、定理以及由其內容反映的數學思想方法”。其中數學思想方法包括： 函數與方程的思想方法、 數形結合的思想方法 、 分類整合的思想方法、 特殊與一般的思想方法、 轉化與化歸的思想方法、 必然與或然的思想方法。數學思想方法是對數學知識內容和方法的本質認識，是對數學的規律性的理性認識。高考通過對數學思想方法的考查，能夠最有效地檢測學生對數學知識的理解和掌握程度，能夠最有效地反映出學生對數學各部分內容的銜接、綜合和滲透的能力�！犊荚嚧缶V》對數學考查的要求是“數學學科的系統性和嚴密性決定了數學知識之間深刻的內在聯系，包括各部分知識的縱向聯系和橫向聯系，要善于從本質上抓住這些聯系，進而通過分類、梳理、綜合，構建數學試卷的框架結構” 。而數學思想方法起著重要橋梁連接和支稱作用，“對數學思想方法的考查是對數學知識在更高層次上的抽象和概括的考查，考查時必須要與數學知識相結合，通過數學知識的考查，反映考生對數學思想方法的掌握程度” �！� 數學科的命題，在考查基礎知識的基礎上，注重對數學思想方法的考查，注重對數學能力的考查，展現數學的科學價值和人文價值，同時兼顧試題的基礎性、綜合性和現實性，重視試題間的層次性，合理調控綜合程度，堅持多角度、多層次的考查，努力實現全面考查綜合數學素養的要求�！� 數學的思想方法滲透到數學的各個角落，無處不在，有些題目還要考查多個數學思想。在高考復習時，要充分認識數學思想在提高解題能力的重要性，在復習中要有意識地滲透這些數學思想，提升數學思想。

一、函數與方程的思想

所謂函數的思想，就是用運動和變化的觀點、集合對應的思想，去分析和研究數學問題中的數量關系，建立函數關系或構造函數。運用函數的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決，函數思想是對函數概念的本質認識，用于指導解題就是要善于利用函數知識或函數觀點去觀察分析處理問題。

所謂方程的思想就是分析數學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程（組），或者運用方程的性質去分析轉化問題使問題獲得解決，方程思想是對方程概念的本質認識，用于指導解題就是利用方程或方程觀點觀察處理問題。函數思想與方程思想是密不可分的，可以相互轉化的。

函數和方程的思想是最重要和最常用的數學思想，它貫穿于整個高中教學中，中學數學中的初等函數、三角函數、數列以及解析幾何都可以歸結為函數，尤其是導數的引入為函數的研究增添了新的工具．因此，在數學教學中注重函數與方程的思想是相當重要的．在高考中，函數與方程的思想也是作為思想方法的重點來考查的，使用選擇題和填空題考查函數與方程思想的基本運算，而在解答題中，則從更深的層次，在知識的網絡的交匯處，從思想方法與相關能力相綜合的角度進行深入考查。

1、利用函數與方程的性質解題

例1．（2008安徽卷，理,11）若函數分別是上的奇函數、偶函數，且滿足，則有（    ）

A．                 B．

C．