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題目列表(包括答案和解析)

二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．

（一）必做題（9～13題）

9．如圖1是一個空間幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為      ．

 

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如右圖所示是某一容器的三視圖，現向容器中勻速注水，容器中水面的高度隨時間變化的圖象可能是（    ）

 


                     

（一）必做題（11～13題）

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【必做題】(本題滿分10分)

某單位舉辦2010年上海世博會知識宣傳活動，進行現場抽獎．盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“世博會會徽”或“海寶”（世博會吉祥物）圖案；抽獎規則是：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是‘‘海寶”，即可獲獎，否則，均為不獲獎．卡片用后后放同盒子，下一位參加者繼續重復進行。

（I）有三人參加抽獎，要使至少一人獲獎的概率不低于，則“海寶”卡至少多少張?

（2）若有四張“海寶”卡，現有甲乙丙丁四人依次抽獎．用表示獲獎的人數，求的分布列及E的值．

 

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【必做題】(本題滿分10分)

某單位舉辦2010年上海世博會知識宣傳活動，進行現場抽獎．盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“世博會會徽”或“海寶”（世博會吉祥物）圖案；抽獎規則是：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“海寶”卡即可獲獎，否則，均為不獲獎．卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續重復進行．

（I）有三人參加抽獎，要使至少一人獲獎的概率不低于，則“海寶”卡至少多少張？

（Ⅱ）現有甲乙丙丁四人依次抽獎，用表示獲獎的人數，求的分布列及的值．

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【必做題】本題滿分10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

某車站每天上午發出兩班客車，第一班客車在8∶00，8∶20，8∶40這三個時刻隨機發出，且在8∶00發出的概率為，8∶20發出的概率為，8∶40發出的概率為；第二班客車在9∶00，9∶20，9∶40這三個時刻隨機發出，且在9∶00發出的概率為，9∶20發出的概率為，9∶40發出的概率為．兩班客車發出時刻是相互獨立的，一位旅客預計8∶10到站．求：

   （1）請預測旅客乘到第一班客車的概率；

   （2）旅客候車時間的分布列；

   （3）旅客候車時間的數學期望．

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說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數．

      2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．

      3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．

4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分．

 

一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共8小題，每小題5分，滿分40分．

 

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

B

C

D

A

C

B

D

 

二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．其中13～15是選做題,考生只能選做兩題. 第12題第一個空2分，第二個空3分．

9．         10．    11．       12．-1；4     13．

14．1         15.   

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

16．（本小題滿分12分）

（本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數的基本關系等基礎知識，考查運算求解能力）

解: (1)∵, 且,

     ∴ .                                      

     由正弦定理得.                                       

     ∴.                                     

   (2)∵                                        

     ∴.

     ∴ .                                                       

    由余弦定理得,

∴.     

 

17．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查概率、隨機變量的分布列及其數學期望等基礎知識，考查運算求解能力）

解：（1）記“甲射擊一次,擊中目標”為事件，“乙射擊一次,擊中目標”為事件，“甲射擊一次,

未擊中目標”為事件，“乙射擊一次,未擊中目標”為事件，

則，.                        

依題意得，                                

        解得.

        故的值為.                                                    

（2）的取值分別為.                                            

，                      

，

，                     

的分布列為

0

2

4

 

                                                                    

                                    

 

18．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查空間中線面的位置關系、空間的角、幾何體體積等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力）

 (1) 證明: ∵分別是棱的中點，

         ∴是△的中位線.

         ∴.                              

         ∵平面平面

         ∴平面.                                             

         同理可證 平面.       

∵平面,平面,

∴平面// 平面.                                      

               

(2) 求三棱錐的體積的最大值, 給出如下兩種解法:

解法1: 由已知平面, ,

    ∴.

    ∴三棱錐的體積為

                                                   

                               

                              

                               .                                 

     當且僅當時等號成立，取得最大值,其值為, 此時.          

 

     

解法2：設，在Rt△中，.

     

      ∴三棱錐的體積為

                                

                                                         

                                

                                 .   

       ∵,          

     ∴ 當，即時，取得最大值，其值為，此時.

    求二面角的平面角的余弦值, 給出如下兩種解法:

 解法1:作,垂足為, 連接.

      ∵ 平面，平面平面,

      ∴ 平面.

      ∵ 平面,     

∴ .

      ∵ ,     

∴ 平面.

∵平面,

      ∴.

     ∴ 是二面角的平面角.                              

     在Rt△中,,

     ∴.

在Rt△中,,

.

∴二面角的平面角的余弦值為.                     

解法2:分別以所在直線為軸, 軸, 軸,建立如圖的空間直角坐標系,

     則.

     ∴.  

   設n為平面的法向量,

 

∴

即

令, 則.

∴為平面的一個法向量.                           

∵平面的一個法向量為,

∴.             

∴二面角的平面角的余弦值為.                        

19．（本小題滿分12分）

（本小題主要考查函數最值、不等式、導數及其應用等基礎知識，考查分類與整合的數學思想方法，以及運算求解能力和應用意識）

解：（1）生產150件產品，需加工型零件450個，

則完成型零件加工所需時間N，且.   

     （2）生產150件產品，需加工型零件150個，

 則完成型零件加工所需時間N，且.

設完成全部生產任務所需時間為小時，則為與的較大者.

令，即，

解得.                                                       

所以，當時，；當時，.

故.                             

當時，，故在上單調遞減，

則在上的最小值為（小時）；                  

 當時，，故在上單調遞增，

則在上的最小值為（小時）；            

，

在上的最小值為.

.

答：為了在最短時間內完成生產任務，應取.                        

 

20．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查圓、橢圓、直線等基礎知識和數學探究，考查數形結合、分類與整合的數學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力和創新意識）

解：（1）圓， 圓心的坐標為，半徑.

∵，

∴點在圓內.                                                   

設動圓的半徑為，圓心為，依題意得，且，

即.                                               

∴圓心的軌跡是中心在原點，以兩點為焦點，長軸長為的橢圓,設其方程為

,  則.

∴.

∴所求動圓的圓心的軌跡方程為.                          

 

 (2)由 消去化簡整理得：.

設，，則.

 

△.  ①                             

由 消去化簡整理得：.

設，則,

 

△

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