直線l:y=kx+1 與雙曲線C:2x²-y²=1的右支交于不同兩點A 、B ．  
（1）求實數k的取值范圍；  
（2）是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線右焦點F?若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

直線l：y=kx+1與雙曲線C：2x²-y²=1的右支交于不同的兩點A、B，
（Ⅰ）求實數k的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由。

直線l：y=kx+1與雙曲線C：2x²-y²=1的右支交于不同的兩點A、B。
（1）求實數k的取值范圍；
（2）是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由。