（1）利用函數單調性的定義證明函數h(x)=x+

3

x

在[

3

，∞)上是增函數；
（2）我們可將問題（1）的情況推廣到以下一般性的正確結論：已知函數y=x+

t

x

有如下性質：如果常數t＞0，那么該函數在(0，

t

]上是減函數，在[

t

，+∞)上是增函數．
若已知函數f(x)=

4x2-12x-3

2x+1

，x∈[0，1]，利用上述性質求出函數f（x）的單調區間；又已知函數g（x）=-x-2a，問是否存在這樣的實數a，使得對于任意的x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，若不存在，請說明理由；如存在，請求出這樣的實數a的值．

（2010•青浦區二模）[理科]定義：如果數列{a_n}的任意連續三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱{a_n}為“三角形”數列．對于“三角形”數列{a_n}，如果函數y=f（x）使得b_n=f（a_n）仍為一個“三角形”數列，則稱y=f（x）是數列{a_n}的“保三角形函數”，（n∈N^*）．
（1）已知{a_n}是首項為2，公差為1的等差數列，若f（x）=k^x，（k＞1）是數列{a_n}的“保三角形函數”，求k的取值范圍；
（2）已知數列{c_n}的首項為2010，S_n是數列{c_n}的前n項和，且滿足4S_n+1-3S_n=8040，證明{c_n}是“三角形”數列；
（3）根據“保三角形函數”的定義，對函數h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]，和數列1，1+d，1+2d（d＞0）提出一個正確的命題，并說明理由．

（2008•南京模擬）某電視臺的一個智力游戲節目中，有一道將四本由不同作者所著的外國名著A、B、C、D與它們的作者連線的題目，每本名著只能與一名作者連線，每名作者也只能與一本名著連線．每連對一個得3分，連錯得-1分，一名觀眾隨意連線，他的得分記作ξ．
（1）求該觀眾得分ξ為非負的概率；
（2）求ξ的分布列及數學期望．

（2007•上海）我們在下面的表格內填寫數值：先將第1行的所有空格填上1；再把一個首項為1，公比為q的數列{a_n}依次填入第一列的空格內；然后按照“任意一格的數是它上面一格的數與它左邊一格的數之和”的規則填寫其它空格．

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q
第3行	q2
…	…
第n行	qn-1

（1）設第2行的數依次為B₁，B₂，…，B_n，試用n，q表示B₁+B₂+…+B_n的值；
（2）設第3列的數依次為c₁，c₂，c₃，…，c_n，求證：對于任意非零實數q，c₁+c₃＞2c₂；
（3）請在以下兩個問題中選擇一個進行研究 （只能選擇一個問題，如果都選，被認為選擇了第一問）．
①能否找到q的值，使得（2）中的數列c₁，c₂，c₃，…，c_n的前m項c₁，c₂，…，c_m （m≥3）成為等比數列？若能找到，m的值有多少個？若不能找到，說明理由．
②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，還有不同的兩列數的前三項各自依次成等比數列？并說明理由．

（2007•楊浦區二模）（文）設F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞0，n＞0且m≠n）的兩個焦點．
（1）若橢圓C上的點A（1，

3

2

）到兩個焦點的距離之和等于4，求橢圓C的方程．
（2）如果點P是（1）中所得橢圓上的任意一點，且

PF1

•

PF2

=0，求△PF₁F₂的面積．
（3）若橢圓C具有如下性質：設M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩點，點Q是橢圓上任意一點，且直線QM與直線QN的斜率都存在，分別記為K_QM、K_QN，那么K_QM和K_QN之積是與點Q位置無關的定值．試問：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）是否具有類似的性質？并證明你的結論．通過對上面問題進一步研究，請你概括具有上述性質的二次曲線更為一般的結論，并說明理由．