知識背景:杭州留下有一處野生古楊梅群落,其野生楊梅是一種具特殊價值的綠色食品.在當地市場出售時,基地要求“楊梅”用雙層上蓋的長方體紙箱封裝(上蓋紙板面積剛好等于底面面積的2倍,如圖)

（1）實際運用:如果要求紙箱的高為0.5米,底面是黃金矩形(寬與長的比是黃金比,取黃金比為0.6),體積為0.3立方米.

①按方案1(如圖)做一個紙箱,需要矩形硬紙板的面積是多少平方米？

②小明認為,如果從節省材料的角度考慮,采用方案2(如圖)的菱形硬紙板做一個紙箱比方案1更優,你認為呢？請說明理由.

（2）拓展思維:城西一家水果商打算在基地購進一批“野生楊梅”,但他感覺（1）中的紙箱體積太大,搬運吃力,要求將紙箱的底面周長、底面面積和高都設計為原來的一半,你認為水果商的要求能辦到嗎？請利用函數圖象驗證.

【解析】（1）①利用寬與長的比是黃金比，取黃金比為0.6，假設底面長為x，寬就為0.6x，再利用圖形得出QM=+0.5+1+0.5+=3，FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，進而求出即可；

②根據菱形的性質得出，對角線乘積的一半絕對小于矩形邊長乘積即可得出答案；

（2）根據相似三角形的性質面積比等于相似比的平方得出即可

知識背景:杭州留下有一處野生古楊梅群落,其野生楊梅是一種具特殊價值的綠色食品.在當地市場出售時,基地要求“楊梅”用雙層上蓋的長方體紙箱封裝(上蓋紙板面積剛好等于底面面積的2倍,如圖)

（1）實際運用:如果要求紙箱的高為0.5米,底面是黃金矩形(寬與長的比是黃金比,取黃金比為0.6),體積為0.3立方米.

①按方案1(如圖)做一個紙箱,需要矩形硬紙板的面積是多少平方米？

②小明認為,如果從節省材料的角度考慮,采用方案2(如圖)的菱形硬紙板做一個紙箱比方案1更優,你認為呢？請說明理由.

（2）拓展思維:城西一家水果商打算在基地購進一批“野生楊梅”,但他感覺（1）中的紙箱體積太大,搬運吃力,要求將紙箱的底面周長、底面面積和高都設計為原來的一半,你認為水果商的要求能辦到嗎？請利用函數圖象驗證.

【解析】（1）①利用寬與長的比是黃金比，取黃金比為0.6，假設底面長為x，寬就為0.6x，再利用圖形得出QM=+0.5+1+0.5+=3，FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，進而求出即可；

②根據菱形的性質得出，對角線乘積的一半絕對小于矩形邊長乘積即可得出答案；

（2）根據相似三角形的性質面積比等于相似比的平方得出即可

   如圖，邊長為4的等邊三角形AOB的頂點O在坐標原點，點A在x軸正半軸上，點B在第一象限．一動點P沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒．將線段BP的中點繞點P按順時針方向旋轉60°得點C，點C隨點P的運動而運動，連接CP、CA，過點P作PD⊥OB于點D．

（1）填空：PD的長為                （用含t的代數式表示）；

（2）求點C的坐標（用含t的代數式表示）；

（3）在點P從O向A運動的過程中，△PCA能否成為直角三角形？若能，求t的值．若不能，請說明理由；

（4）填空：在點P從O向A運動的過程中，點C運動路線的長為                             

【解析】此題考核相似三角形的判定和性質，旋轉的性質

   如圖，邊長為4的等邊三角形AOB的頂點O在坐標原點，點A在x軸正半軸上，點B在第一象限．一動點P沿x軸以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設點P運動的時間是t秒．將線段BP的中點繞點P按順時針方向旋轉60°得點C，點C隨點P的運動而運動，連接CP、CA，過點P作PD⊥OB于點D．

（1）填空：PD的長為               （用含t的代數式表示）；

（2）求點C的坐標（用含t的代數式表示）；

（3）在點P從O向A運動的過程中，△PCA能否成為直角三角形？若能，求t的值．若不能，請說明理由；

（4）填空：在點P從O向A運動的過程中，點C運動路線的長為                            

【解析】此題考核相似三角形的判定和性質，旋轉的性質

在△ABC中，AB=AC，∠ACB =∠ABC，CG⊥BA交BA的延長線于點G，一等腰三角板按如圖27-1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F，一條直角邊與AC邊

在一條直線上，另一條直角邊恰好經過點B。

（1）在圖24-1中請你通過觀察，測量BF與CG的長度，猜想并寫出BF與CG滿足的數量關系，然后說明你的猜想。

（2）當三角尺沿AC方向平移到圖24-2所在的位置時，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另

一條直角邊交BC邊于點D，過點D作DE⊥BA于點E，此時請你通過觀察、測量DE、DF與CG的長度，猜想并寫出DE+DF與CG之間滿足的數量關系，然后說明你的猜想。

（提示：過點D作DH⊥CG，可得四邊形EDHG是長方形，而且∠HDC=∠ABC，ED=GH）

（3）當三角尺在（2）的基礎上沿AC方向繼續平移到圖24-3所示的位置（點F在線段AC上，

且點F與點C不重合）時，試猜想DE、DF與CG之間滿足的數量關系？（不用說明理由）

【解析】本題利用等腰直角三角形的性質及全等三角形的判定和性質求解