題目列表(包括答案和解析)
在△ABC中,為三個內角
為三條邊,
且
(I)判斷△ABC的形狀;
(II)若,求
的取值范圍.
【解析】本題主要考查正余弦定理及向量運算
第一問利用正弦定理可知,邊化為角得到
所以得到B=2C,然后利用內角和定理得到三角形的形狀。
第二問中,
得到。
(1)解:由及正弦定理有:
∴B=2C,或B+2C,若B=2C,且
,∴
,
;∴B+2C
,則A=C,∴
是等腰三角形。
(2)
已知直三棱柱中,
,
,
是
和
的交點, 若
.
(1)求的長; (2)求點
到平面
的距離;
(3)求二面角的平面角的正弦值的大小.
【解析】本試題主要考查了距離和角的求解運用。第一問中,利用ACCA
為正方形,
AC=3
第二問中,利用面BBC
C內作CD
BC
,
則CD就是點C平面A
BC
的距離CD=
,第三問中,利用三垂線定理作二面角的平面角,然后利用直角三角形求解得到其正弦值為
解法一: (1)連AC交A
C于E, 易證ACC
A
為正方形,
AC=3
…………… 5分
(2)在面BBC
C內作CD
BC
,
則CD就是點C平面A
BC
的距離CD=
… 8分
(3) 易得AC面A
CB,
過E作EH
A
B于H, 連HC
,
則HC
A
B
C
HE為二面角C
-A
B-C的平面角. ……… 9分
sin
C
HE=
二面角C
-A
B-C的平面角的正弦大小為
……… 12分
解法二: (1)分別以直線CB、CC
、C
A為x、y為軸建立空間直角坐標系, 設|CA|=h, 則C
(0,
0, 0), B
(4,
0, 0), B(4, -3, 0), C(0, -3,
0), A
(0,
0, h), A(0, -3, h), G(2, -
, -
) ……………………… 3分
=(2, -
, -
),
=(0,
-3, -h) ……… 4分
·
=0,
h=3
(2)設平面ABC
得法向量
=(a, b, c),則可求得
=(3, 4, 0) (令a=3)
點A到平面A
BC
的距離為H=|
|=
……… 8分
(3) 設平面ABC的法向量為
=(x, y, z),則可求得
=(0, 1, 1) (令z=1)
二面角C
-A
B-C的大小
滿足cos
=
=
………
11分
二面角C
-A
B-C的平面角的正弦大小為
1、證明兩角差的余弦公式;
2、由推導兩角和的余弦公式
.
3、已知△ABC的面積,且
,求
.
【解析】本試題主要是考查了利用三角函數總兩角和差的三角關系式證明。并能,結合向量的知識進行求解三角形問題的綜合運用。
在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,向量=(sinA,b+c),
=(a-c,sinC-sinB),滿足
=
(Ⅰ)求角B的大。
(Ⅱ)設=(sin(C+
),
),
=(2k,cos2A) (k>1),
有最大值為3,求k的值.
【解析】本試題主要考查了向量的數量積和三角函數,以及解三角形的綜合運用
第一問中由條件|p +q |=| p -q |,兩邊平方得p·q=0,又
p=(sinA,b+c),q=(a-c,sinC-sinB),代入得(a-c)sinA+(b+c)(sinC-sinB)=0,
根據正弦定理,可化為a(a-c)+(b+c)(c-b)=0,
即,又由余弦定理
=2acosB,所以cosB=
,B=
第二問中,m=(sin(C+),
),n=(2k,cos2A) (k>1),m·n=2ksin(C+
)+
cos2A=2ksin(C+B) +
cos2A
=2ksinA+-
=-
+2ksinA+
=-
+
(k>1).
而0<A<,sinA∈(0,1],故當sin=1時,m·n取最大值為2k-
=3,得k=
.
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