本題主要考查解三角形和向量的運算等相關知識.要求學生涉及三角形中三角恒等變換時.要從化角或化邊的角度入手.合理運用正弦定理或余弦定理進行化簡變形,在第二小題中.要強調多元問題的消元意識.進而轉化為函數的最值問題.注意定義域的確定對結論的影響.并指明取最值時變量的取值. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

在△ABC中,為三個內角為三條邊,

(I)判斷△ABC的形狀;

(II)若,求的取值范圍.

【解析】本題主要考查正余弦定理及向量運算

第一問利用正弦定理可知,邊化為角得到

所以得到B=2C,然后利用內角和定理得到三角形的形狀。

第二問中,

得到。

(1)解:由及正弦定理有:

∴B=2C,或B+2C,若B=2C,且,∴;∴B+2C,則A=C,∴是等腰三角形。

(2)

 

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已知直三棱柱中, , , 的交點, 若.

(1)求的長;  (2)求點到平面的距離;

(3)求二面角的平面角的正弦值的大小.

【解析】本試題主要考查了距離和角的求解運用。第一問中,利用ACCA為正方形, AC=3

第二問中,利用面BBCC內作CDBC, 則CD就是點C平面ABC的距離CD=,第三問中,利用三垂線定理作二面角的平面角,然后利用直角三角形求解得到其正弦值為

解法一: (1)連AC交AC于E, 易證ACCA為正方形, AC=3 ……………  5分

(2)在面BBCC內作CDBC, 則CD就是點C平面ABC的距離CD= … 8分

(3) 易得AC面ACB, 過E作EHAB于H, 連HC, 則HCAB

CHE為二面角C-AB-C的平面角. ………  9分

sinCHE=二面角C-AB-C的平面角的正弦大小為 ……… 12分

解法二: (1)分別以直線CB、CC、CA為x、y為軸建立空間直角坐標系, 設|CA|=h, 則C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, -3, 0), C(0, -3, 0), A(0, 0, h), A(0, -3, h), G(2, -, -) ………………………  3分

=(2, -, -), =(0, -3, -h)  ……… 4分

·=0,  h=3

(2)設平面ABC得法向量=(a, b, c),則可求得=(3, 4, 0) (令a=3)

點A到平面ABC的距離為H=||=……… 8分

(3) 設平面ABC的法向量為=(x, y, z),則可求得=(0, 1, 1) (令z=1)

二面角C-AB-C的大小滿足cos== ………  11分

二面角C-AB-C的平面角的正弦大小為

 

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1、證明兩角差的余弦公式;

    2、由推導兩角和的余弦公式.

3、已知△ABC的面積,且,求.

【解析】本試題主要是考查了利用三角函數總兩角和差的三角關系式證明。并能,結合向量的知識進行求解三角形問題的綜合運用。

 

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在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,向量=(sinA,b+c),=(a-c,sinC-sinB),滿足=

(Ⅰ)求角B的大。

(Ⅱ)設=(sin(C+),), =(2k,cos2A) (k>1),  有最大值為3,求k的值.

【解析】本試題主要考查了向量的數量積和三角函數,以及解三角形的綜合運用

第一問中由條件|p +q |=| p -q |,兩邊平方得p·q=0,又

p=(sinA,b+c),q=(a-c,sinC-sinB),代入得(a-c)sinA+(b+c)(sinC-sinB)=0,

根據正弦定理,可化為a(a-c)+(b+c)(c-b)=0,

,又由余弦定理=2acosB,所以cosB=,B=

第二問中,m=(sin(C+),),n=(2k,cos2A) (k>1),m·n=2ksin(C+)+cos2A=2ksin(C+B) +cos2A

=2ksinA+-=-+2ksinA+=-+ (k>1).

而0<A<,sinA∈(0,1],故當sin=1時,m·n取最大值為2k-=3,得k=.

 

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