題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分12分)
班主任為了對本班學生的考試成績進行分析,決定從全班25位女同學,15位男同學中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析.
(1)如果按性別比例分層抽樣,可以得到多少個不同的樣本(只要求寫出算式即可,不必計算出結果);
(2)隨機抽取8位同學,數學分數依次為:60,65,70,75,80,85,90,95;
物理成績依次為:72,77,80,84,88,90,93,95,
①若規定90分(含90分)以上為優秀,記為這8位同學中數學和物理分數均為優秀的人數,求
的分布列和數學期望;
②若這8位同學的數學、物理分數事實上對應下表:
學生編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7[來源:Z#xx#k.Com] | 8 |
數學分數 | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 |
物理分數 | 72 | 77 | 80[來源:學科網] | 84 | 88 | 90 | 93 | 95 |
根據上表數據可知,變量與
之間具有較強的線性相關關系,求出
與
的線性回歸方程(系數精確到0.01).(參考公式:
,其中
,
;參考數據:
,
,
,
,
,
,
)
(本小題滿分12分)
為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關,對本班50人進行了問卷調查得到了如下的列聯表:
|
喜愛打籃球 |
不喜愛打籃球 |
合計 |
男生 |
|
5 |
|
女生 |
10 |
|
[來源:學|科|網] |
合計 |
|
|
50[] |
已知在全部50人中隨機抽取1人抽到喜愛打籃球的學生的概率為
(1)請將上面的列聯表補充完整
(2)是否有99.5%的把握認為喜愛打籃球與性別有關?說明你的理由;
(3)已知喜愛打籃球的10位女生中,還喜歡打羽毛球,
還喜歡打乒乓球,還喜歡踢足球,現在從喜歡打羽毛球、喜歡打乒乓球、
喜歡踢足球的8位女生中各選出1名進行其他方面的調查,求和
不全被選
中的概率.
下面的臨界值表供參考:
|
0.15 |
0.10 |
0.05 |
0.025 |
0.010 |
0.005 |
0.001 |
|
2.072 |
2.706 |
3.841 |
5.024 |
6.635 |
7.879 |
10.828 |
(本小題滿分12分)
甲乙兩個學校高三年級分別為1100人,1000人,為了統計兩個學校在地區二?荚嚨臄祵W科目成績,采用分層抽樣抽取了105名學生的成績,并作出了部分頻率分布表如下:(規定考試成績在[120,150]內為優秀)
甲校:
分組 |
|
|
|
|
|
|
|
[140,150] |
頻數 |
2 |
3 |
10 |
15 |
15 |
x |
3 |
1 |
乙校:
分組 |
|
|
|
|
|
|
|
[140,150] |
頻數 |
1 |
2 |
9 |
8 |
10 |
10 |
y |
3 |
(1)計算x,y的值,并分別估計兩上學校數學成績的優秀率;
(2)由以上統計數據填寫下面2×2列聯表,并判斷是否有97.5%的把握認為兩個學校的數學成績有差異.
|
甲校 |
乙校 |
總計 |
優秀 |
|
|
|
非優秀 |
|
|
|
總計 |
|
|
|
附:
|
0.10 |
0.025 |
0.010 |
|
2.706 |
5.024 |
6.635 |
(本小題滿分12分) 已知海島B在海島A的北偏東45°方向上,A、B相距10海里,小船甲從海島B以2海里/小時的速度沿直線向海島A移動,同時小船乙從海島A出發沿北偏西15°方向也以2海里/小時的速度移動。
(1)經過1小時后,甲、乙兩小船相距多少海里?
(2)在航行過程中,小船甲是否可能處于小船乙的正東方向?
若可能,請求出所需時間,若不可能,請說明理由。
[來源:學#科#網]
(本小題滿分12分)已知海島B在海島A的北偏東45°方向上,A、B相距10海里,小船甲從海島B以2海里/小時的速度沿直線向海島A移動,同時小船乙從海島A出發沿北偏西15°方向也以2海里/小時的速度移動。
(1)經過1小時后,甲、乙兩小船相距多少海里? (2)在航行過程中,小船甲是否可能處于小船乙的正東方向?
若可能,請求出所需時間,若不可能,請說明理由。
[來源:學#科#網]
A.必做題部分
一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分.
1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合,則集合
= ▲
.
2. 已知函數,則
的最小正周期是 ▲ .
3. 經過點(-2,3),且與直線平行的直線方程為 ▲ .
4. 若復數滿足
則
▲ .
5. 程序如下:
t←1
i←2
While i≤4
t←t×i
i←i+1
End While
Print t
以上程序輸出的結果是 ▲ .
6. 若的方差為3,則
的方差
為 ▲ .
7. 正方體ABCD-A1B,則四面體
的外接球的體積為 ▲ .
8. 以橢圓的左焦點
為圓心,c為半徑的圓與橢圓的左準線交于不同的兩點,則該橢圓的離心率的取值范圍是 ▲ .
9. 設a>0,集合A={(x,y)|},B={(x,y)|
}.若點P(x,y)∈A是點P(x,y)∈B的必要不充分條件,則a的取值范圍是 ▲ .
10.在閉區間 [-1,1]上任取兩個實數,則它們的和不大于1的概率是 ▲ .
11.數列中,
,且
(
,
),則這個數列的通項公式
▲
.
12.根據下面一組等式:
…………
可得 ▲ .
13.在△ABC中,,D是BC邊上任意一點(D與B、C不重合),且
,則
等于 ▲ .
14.設函數,記
,若函數
至少存在一個零點,則實數m的取值范圍是 ▲ .
答案:1.{6,7} 2. 3.
4.
5.24 6.27 7.
8.
9.0<a≤ 10.
11.
12.
13.
14.
二、解答題:本大題共6小題,共90分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(本小題14分)
如圖,在正三棱柱ABC-A1B
(1)求證:AD⊥平面BC C1 B1;
(2)設E是B的值為多少時,
A1E∥平面ADC1?請給出證明.
解: (1)在正三棱柱中,C C1⊥平面ABC,AD平面ABC,
∴ AD⊥C C1.………………………………………2分
又AD⊥C1D,C C1交C1D于C1,且C C1和C1D都在面BC C1 B1內,
∴ AD⊥面BC C1 B1. ……………………………………………………………5分
(2)由(1),得AD⊥BC.在正三角形ABC中,D是BC的中點.………………………7分
當,即E為B
事實上,正三棱柱ABC-A1B
又B1B∥AA1,且B1B=AA1,
∴DE∥AA1,且DE=AA1. ……………………………………………………………12分
所以四邊形ADE A1為平行四邊形,所以E A1∥AD.
而E A1面AD C1內,故A1E∥平面AD C1. ………………………………………14分
16.(本小題14分)
如圖,在四邊形ABCD中,AD=8,CD=6,AB=13,∠ADC=90°,且.
(1)求sin∠BAD的值;
(2)設△ABD的面積為S△ABD,△BCD的面積為S△BCD,求的值.
解 (1)在Rt△ADC中,AD=8,CD=6,
則AC=10,.………………2分
又∵,AB=13,
∴. …………………………4分
∵,∴
. …………………………………………………5分
∴.……………………………………………………8分
(2),
,
, 11分
則,∴
.……………………………………14分
17.(本小題15分)
某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節大豆新品種發芽多少之間的關系進行分析研究,他們分別記錄了
日 期
溫差(°C)
10
11
13
12
8
發芽數(顆)
23
25
30
26
16
該農科所確定的研究方案是:先從這五組數據中選取2組,用剩下的3組數據求線性回歸方程,再對被選取的2組數據進行檢驗.
(1)求選取的2組數據恰好是不相鄰2天數據的概率;
(2)若選取的是;
(3)若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2顆,則認為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(2)中所得的線性回歸方程是否可靠?
解:(1)設抽到不相鄰兩組數據為事件,因為從5組數據中選取2組數據共有10種情況,每種情況都是等可能出現的,其中抽到相鄰兩組數據的情況有4種, ………………2分
所以 .…………………………………………………………………4分
答:略. ……………………………………………………………………………………5分
(2)由數據,求得.………………………………………………………………7分
由公式,求得,
. …………………………………………………9分
所以y關于x的線性回歸方程為. …………………………………………10分
(3)當x=10時,,|22-23|<2;…………………………………………12分
同樣,當x=8時,,|17-16|<2.……………………………………14分
所以,該研究所得到的線性回歸方程是可靠的. ……………………………………15分
18.(本小題15分)
拋物線的焦點為F,
在拋物線上,且存在實數λ,使
0,
.
(1)求直線AB的方程;
(2)求△AOB的外接圓的方程.
解:(1)拋物線的準線方程為
.
∵,∴A,B,F三點共線.由拋物線的定義,得|
|=
. …1分
設直線AB:,而
由得
. ……………………………………………3分
∴|
|=
=
.∴
.……………6分
從而,故直線AB的方程為
,即
.……………………8分
(2)由 求得A(4,4),B(
,-1).……………………………………10分
設△AOB的外接圓方程為,則
解得
………………………………………………14分
故△AOB的外接圓的方程為.…………………………………15分
19.(本小題16分)
已知函數在[1,+∞)上為增函數,且θ∈(0,π),
,m∈R.
(1)求θ的值;
(2)若在[1,+∞)上為單調函數,求m的取值范圍;
(3)設,若在[1,e]上至少存在一個
,使得
成立,求
的取值范圍.
解:(1)由題意,≥0在
上恒成立,即
.………1分
∵θ∈(0,π),∴.故
在
上恒成立,…………………2分
只須,即
,只有
.結合θ∈(0,π),得
.……4分
(2)由(1),得.
.…………5分
∵在其定義域內為單調函數,
∴或者
在[1,+∞)恒成立.………………………6分
等價于
,即
,
而 ,(
)max=1,∴
. …………………………………………8分
等價于
,即
在[1,+∞)恒成立,
而∈(0,1],
.
綜上,m的取值范圍是. ………………………………………………10分
(3)構造,
.
當時,
,
,
,所以在[1,e]上不存在一個
,使得
成立. ………………………………………………………12分
當時,
.…………………………14分
因為,所以
,
,所以
在
恒成立.
故在
上單調遞增,
,只要
,
解得.
故的取值范圍是
.………………………………………………………16分
20.(本小題16分)
已知等差數列的首項為a,公差為b,等比數列
的首項為b,公比為a,其中a,b都是大于1的正整數,且
.
(1)求a的值;
(2)若對于任意的,總存在
,使得
成立,求b的值;
(3)令,問數列
中是否存在連續三項成等比數列?若存在,求出所有成等比數列的連續三項;若不存在,請說明理由.
解:(1)由已知,得.由
,得
.
因a,b都為大于1的正整數,故a≥2.又,故b≥3. …………………………2分
再由,得
.
由,故
,即
.
由b≥3,故,解得
.
………………………………………………………4分
于是,根據
,可得
.…………………………………………………6分
(2)由,對于任意的
,均存在
,使得
,則
.
又,由數的整除性,得b是5的約數.
故,b=5.
所以b=5時,存在正自然數滿足題意.…………………………………………9分
(3)設數列中,
成等比數列,由
,
,得
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