在x軸的正方向上，從左向右依次取點列 A_j，j=1，2，…，以及在第一象限內的拋物線y2=

3

2

x上從左向右依次取點列B_k，k=1，2，…，使△A_k-1B_kA_k（k=1，2，…）都是等邊三角形，其中A₀是坐標原點，設第n個等邊三角形的邊長為a_n．
（1）求a_n的通項公式
（2）設cn=

1

an3

，求證：c1+c2+…+cn＜

5

4

．

已知等軸雙曲線C的兩個焦點F₁、F₂在直線y=x上，線段F₁F₂的中點是坐標原點，且雙曲線經過點（3，

3

2

）．
（1）若已知下列所給的三個方程中有一個是等軸雙曲線C的方程：①x²-y²=

27

4

；②xy=9；③xy=

9

2

．請確定哪個是等軸雙曲線C的方程，并求出此雙曲線的實軸長；
（2）現要在等軸雙曲線C上選一處P建一座碼頭，向A（3，3）、B（9，6）兩地轉運貨物．經測算，從P到A、從P到B修建公路的費用都是每單位長度a萬元，則碼頭應建在何處，才能使修建兩條公路的總費用最低？
（3）如圖，函數y=

3

3

x+

1

x

的圖象也是雙曲線，請嘗試研究此雙曲線的性質，你能得到哪些結論？（本小題將按所得到的雙曲線性質的數量和質量酌情給分）