題目列表(包括答案和解析)
(1)(本小題滿分7分) 選修4一2:矩陣與變換
若點A(2,2)在矩陣對應變換的作用下得到的點為B(-2,2),求矩陣M的逆矩陣.
(2)(本小題滿分7分) 選修4一4:坐標系與參數方程
已知極坐標系的極點O與直角坐標系的原點重合,極軸與x軸的正半軸重合,曲線C1:與曲線C2:
(t∈R)交于A、B兩點.求證:OA⊥OB.
(3)(本小題滿分7分) 選修4一5:不等式選講
求證:,
.
(1)(本小題滿分7分) 選修4一2:矩陣與變換
若點A(2,2)在矩陣對應變換的作用下得到的點為B(-2,2),求矩陣M的逆矩陣.
(2)(本小題滿分7分) 選修4一4:坐標系與參數方程
已知極坐標系的極點O與直角坐標系的原點重合,極軸與x軸的正半軸重合,曲線C1:與曲線C2:(t∈R)交于A、B兩點.求證:OA⊥OB.
(3)(本小題滿分7分) 選修4一5:不等式選講
求證:,
.
A.選修4-1(幾何證明選講)
如圖,是邊長為
的正方形,以
為圓心,
為半徑的圓弧與以
為直徑的
交于點
,延長
交
于
.(1)求證:
是
的中點;(2)求線段
的長.
B.選修4-2(矩陣與變換)
已知矩陣,若矩陣
屬于特征值3的一個特征向量為
,屬于特征值-1的一個特征向量為
,求矩陣
.
C.選修4-4(坐標系與參數方程)
在極坐標系中,曲線的極坐標方程為
,以極點為原點,極軸為
軸的正半軸建立平面直角坐標系,直線
的參數方程為
(
為參數),求直線
被曲線
所截得的弦長.
D.選修4—5(不等式選講)
已知實數滿足
,求
的最小值;
本題有(1).(2).(3)三個選做題,每題7分,請考生任選2題作答,滿分14分.如果多做,則按所做的前兩題計分.作答時,先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑,并將所選題號填入括號中.
(1)(本小題滿分7分)選修4-2:矩陣與變換選做題
已知矩陣A=有一個屬于特征值1的特征向量
.
(Ⅰ) 求矩陣A;
(Ⅱ) 矩陣B=,點O(0,0),M(2,-1),N(0,2),求
在矩陣AB的對應變換作用下所得到的
的面積.
(2)(本小題滿分7分)選修4-4:坐標系與參數方程選做題
在直角坐標平面內,以坐標原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.已知曲線的參數方程為
,曲線
的極坐標方程為
.
(Ⅰ)將曲線的參數方程化為普通方程;(Ⅱ)判斷曲線
與曲線
的交點個數,并說明理由.
(3)(本小題滿分7分)選修4-5:不等式選講選做題
已知函數,不等式
在
上恒成立.
(Ⅰ)求的取值范圍;
(Ⅱ)記的最大值為
,若正實數
滿足
,求
的最大值.
一、填空題
1、 2、40 3、②
④) 4、-1 5、
6、3
7、 8、
9、1 10、
11、
12、46 13、
14、(3)(4)
二、解答題
15、解:(1)∵a⊥b,∴a?b=0.而a=(3sinα,cosα),b=(2sinα, 5sinα-4cosα),
故a?b=6sin2α+5sinαcosα-4cos2α=0.……………………………………2分
由于cosα≠0,∴6tan2α+5tanα-4 =0.解之,得tanα=-,或tanα=
.……………………………………………6分
∵α∈(),tanα<0,故tanα=
(舍去).∴tanα=-
.…………7分
(2)∵α∈(),∴
.
由tanα=-,求得
,
=2(舍去).
∴,…………………………………………………………12分
cos()=
= =
. ………………………14分
16、證明:(1)連結,在
中,
、
分別為
,
的中點,則
(2)
(3)
且
,
∴ 即
=
=
17、解:由已知圓的方程為,
按平移得到
.
∵∴
.
即.
又,且
,∴
.∴
.
設,
的中點為D.
由,則
,又
.
∴到
的距離等于
.
即, ∴
.
∴直線的方程為:
或
.
18、(1)在△ADE中,y2=x2+AE2-2x?AE?cos60°y2=x2+AE2-x?AE,①
又S△ADE= S△ABC=
a2=
x?AE?sin60°
x?AE=2.②
②代入①得y2=x2+-2(y>0), ∴y=
(1≤x≤2)。。。.6分
(2)如果DE是水管y=≥
,
當且僅當x2=,即x=
時“=”成立,故DE∥BC,且DE=
.
如果DE是參觀線路,記f(x)=x2+,可知
函數在[1,]上遞減,在[
,2]上遞增,
故f(x) max=f(1)=f(2)=5. ∴y max=.
即DE為AB中線或AC中線時,DE最長.。。。。。。。。。。。8分
19、解:(1)由
是首項為
,公比為
的等比數列
當時,
,
所以
(2)由得:
(作差證明)
綜上所述當 時,不等式
對任意
都成立.
20.解.(1)
當
時,
,此時
為單調遞減
當時,
,此時
為單調遞增
的極小值為
(2)的極小值,即
在
的最小值為1
令
又 當
時
在
上單調遞減
當
時,
(3)假設存在實數,使
有最小值3,
①當時,由于
,則
函數
是
上的增函數
解得(舍去)
②當時,則當
時,
此時是減函數
當時,
,此時
是增函數
解得
理科加試題
1、(1)“油罐被引爆”的事件為事件A,其對立事件為,則P(
)=C
∴P(A)=1- 答:油罐被引爆的概率為
(2)射擊次數ξ的可能取值為2,3,4,5,
P(ξ=2)=, P(ξ=3)=C
,
P(ξ=4)=C, P(ξ=5)=C
ξ
2
3
4
5
故ξ的分布列為:
Eξ=2×+3×
+4×
+5×
=
2、解:(1)由圖形可知二次函數的圖象過點(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值為16
則,
∴函數f(x)的解析式為
(2)由得
∵0≤t≤2,∴直線l1與f(x)的圖象的交點坐標為(
由定積分的幾何意義知:
3、解:在矩陣N=
的作用下,一個圖形變換為其繞原點逆時針旋轉
得到的圖形,在矩陣M=
的作用下,一個圖形變換為與之關于直線
對稱的圖形。因此
△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形與△ABC全等,從而其面積等于△ABC的面積,即為1
4、解:以極點為原點,極軸為軸正半軸,建立平面直角坐標系,兩坐標系中取相同的長度單位.
(1),
,由
得
.
所以.
即為
的直角坐標方程.
同理為
的直角坐標方程.
(2)由解得
.
即,
交于點
和
.過交點的直線的直角坐標方程為
.
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