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（本小題滿分12分）已知等比數列{a_n}中， 

   （Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式a_n；

   （Ⅱ）設數列{a_n}的前n項和為S_n，證明:；

   （Ⅲ）設，證明：對任意的正整數n、m，均有

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（本小題滿分12分）已知函數，其中a為常數.

   （Ⅰ）若當恒成立，求a的取值范圍；

   （Ⅱ）求的單調區間.

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說明：

    一、本解答指出了每題要考察的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如

果考生的解法與本解法不同，可根據試題的主要考察內容比照評分標準指定相應的評分細

則。

    二、對計算題，當考生的解答在某一部分解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程

度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的解答

有較嚴重的錯誤，就不再給分。

    三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數。

    四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分。

一、選擇題：本題考查基礎知識和基本運算，每小題5分，滿分60分。

1．B   2．A  3．B  4．A  5．B   6．C  7．A  8．B   9．C  10．B  11．D  12．D

二、填空題：本題考查基礎知識和基本運算，每小題4分，滿分16分。

13．1     14．      15．5      16．8

三、解答題：本大題共6小題，滿分74分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟。

17．本題主要考查平面向量的數量積，兩角和與差的三角函數公式、二倍角公式，三角函數的圖象與性質等基礎知識；考查運算求解能力，滿分12分。

解：

  （I）

………………………………………2分

  即函數的解析式為 ?????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ） ??????????????????????????????????????? 6分

所以函數最小正周期???????????????????????????????????????????????????? 8分

當即時

取最大值，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

使函數取最大值的的集合為???????????????????????????????? 12分

18．本題主要考查空間幾何體的直觀圖、三視圖，空間線面的位置關系等基礎知識；考察空間想象能力及推理論證能力，滿分12分。

解（I）由三視圖知這個多面體是一個水平放置的柱體，它的底面是邊長為的正三角形，側棱垂直于底面且長為       2分

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

???????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

（Ⅱ）連結

四邊形是平行四邊形，

過點。

為的中點，………………………………………8分

又是的中點，

，

平面平面

平面…………………………………………12分

19．本題主要考等差數列、數列求和等基礎知識：考查推理論證與運算求解能力；考查化歸與轉化思想，滿分12分。

解（I）點在函數的圖象上，

數列是以首項為2公差為2的等差數列，???????????????????????????????????????? 2分

?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

，????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

???????????????????????? 10分

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．本題主要考查概率與統計的基礎知識，考查運算求解能力及應用意識。

滿分12分。

解：（I）設樣本容量為，則，所以

所以樣本的容量為120???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（Ⅱ）設成績在120分到150分的學生有個，

則，所以????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（Ⅲ）設成績在120分到150分的學生中，男生比女生多的事件記為A，男生數與女生書記為數對（），則基本事件有：（5，15），（6，14），（7，13），（8，12），（9，11），

（10，10），（11，9），（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），（16，4），（17，3），

（18，2），（19，1），（20，0），共16對????????????????????????????????????????????????? 9分

而事件A包含的事件有：（11，9），（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），（16，4），

（17，3），（18，2），（19，1），（20，0）共10對。

所以??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

21．本題主要考查利用導數研究函數的性質，考查運算求解能力及數形結合思想。滿分12分。

解：（I）

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

依題意得??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）

等價于???????????????????????????????????????????????????? 6分

①當時恒成立，

的單調遞增區間為?????????????????????????????????????????????????????????? 8分

②當時，由得

的單調遞增區間為?????????????????????????????????????????????????????? 11分

綜上所述：當時的單調遞增區間為；

當時，的單調遞增區間為???????????????????????????????????????? 12分

22．本題主要考查直線與橢圓的位置關系等基礎知識；考查運算求解能力及化歸與轉化思想。滿分14分。

解：（I）設橢圓E的方程為

由已知得：

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

橢圓E的方程為?????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）設，線段中點的坐標為，則：

由得

化簡得：

……5分

直線過點

而點在橢圓E內，

?????????????????????????????????????????????????????????? 6分

所以PQ中垂直的方程為：

所以直線在軸上的截距??????????????????????????????????????? 8分

??????????????????????????????????????????????????????????? 9分

（Ⅲ）假設存在符號條件的點，則由（Ⅱ）得：

         ????????????????????????????????????????????????? 10分

????????????????????????? 11分

所以

            ?????????????????????????????????????????? 12分

設

即

對于任意實數，上式恒成立，

所以????????????????????????????????????????????????????????????????????? 13分

得

所以符合條件的點存在，其坐標為???????????????????????????????????????????? 14分