為了解某校學生數學競賽的成績分布，從該校參加數學競賽的學生成績中抽取一個樣本，并分成5組，繪成頻率分布直方圖如圖，從左到右各小組的小長方形的高之比為1：2：2：20：5，最右邊一組的頻數是20，請結合直方圖的信息，解答下列問題；
（Ⅰ）樣本容量是多少？
（Ⅱ）現用分層抽樣的方法在該樣本中抽取30個學生的成績作進一步調查，問成績在120分到150分的學生有幾個？
（Ⅲ）已知成績在120分到150分的學生中，至少有5個是男生，求成績在120分到150分的學生中，男生比女生多的概率．

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為了解某校學生數學競賽的成績分布，從該校參加數學競賽的學生成績中抽取一個樣本，并分成5組，繪成頻率分布直方圖如圖，從左到右各小組的小長方形的高之比為1：2：2：20：5，最右邊一組的頻數是20，請結合直方圖的信息，解答下列問題；
（Ⅰ）樣本容量是多少？
（Ⅱ）現用分層抽樣的方法在該樣本中抽取30個學生的成績作進一步調查，問成績在120分到150分的學生有幾個？
（Ⅲ）已知成績在120分到150分的學生中，至少有5個是男生，求成績在120分到150分的學生中，男生比女生多的概率．

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為了讓學生了解環保知識，增強環保意識，某中學舉行了一次“環保知識競賽”，共有900名學生參加了這次競賽．為了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績（得分均為整數，滿分為100分）進行統計．請你根據尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻數分布直方圖，解答下列問題：

分組	頻數	頻率
50.5～60.5	4	0.08
60.5～70.5		0.16
70.5～80.5	10
80.5～90.5	16	0.32
90.5～100.5
合計	50

（Ⅰ）填充頻率分布表的空格（將答案直接填在表格內）；
（Ⅱ）補全頻數直方圖；
（Ⅲ）學校決定成績在75.5～85.5分的學生為二等獎，問該校獲得二等獎的學生約為多少人？

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為了讓學生了解環保知識，增強環保意識，某中學舉行了一次“環保知識競賽”，共有900名學生參加了這次競賽．為了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績（得分均為整數，滿分為100分）進行統計．請你根據尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻數分布直方圖，解答下列問題：

分組	頻數	頻率
50.5～60.5	4	0.08
60.5～70.5		0.16
70.5～80.5	10
80.5～90.5	16	0.32
90.5～100.5
合計	50

（Ⅰ）填充頻率分布表的空格（將答案直接填在表格內）；
（Ⅱ）補全頻數直方圖；
（Ⅲ）學校決定成績在75.5～85.5分的學生為二等獎，問該校獲得二等獎的學生約為多少人？

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某中學舉行了一次“上海世博會知識競賽”，從全校參加競賽的學生的試卷中，隨機抽取了一個樣本，考察競賽的成績分布（得分均為整數，滿分100分），將樣本分成5組，繪成頻率分布直方圖，圖中從左到右各小組的長方形的高之比為1：3：6：4：2，最右邊一組的頻數是6．請結合直方圖提供的信息，解答下列問題：
（Ⅰ）樣本容量是多少？
（Ⅱ）成績落在那個范圍內的人數最多？并求該小組的頻數、頻率；
（Ⅲ）估計這次競賽中，成績高于60分的學生占總人數的百分比．

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說明：

    一、本解答指出了每題要考察的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如

果考生的解法與本解法不同，可根據試題的主要考察內容比照評分標準指定相應的評分細

則。

    二、對計算題，當考生的解答在某一部分解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程

度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的解答

有較嚴重的錯誤，就不再給分。

    三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數。

    四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分。

一、選擇題：本題考查基礎知識和基本運算，每小題5分，滿分60分。

1．B   2．A  3．B  4．A  5．B   6．C  7．A  8．B   9．C  10．B  11．D  12．D

二、填空題：本題考查基礎知識和基本運算，每小題4分，滿分16分。

13．1     14．      15．5      16．8

三、解答題：本大題共6小題，滿分74分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟。

17．本題主要考查平面向量的數量積，兩角和與差的三角函數公式、二倍角公式，三角函數的圖象與性質等基礎知識；考查運算求解能力，滿分12分。

解：

  （I）

………………………………………2分

  即函數的解析式為 ?????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ） ??????????????????????????????????????? 6分

所以函數最小正周期???????????????????????????????????????????????????? 8分

當即時

取最大值，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

使函數取最大值的的集合為???????????????????????????????? 12分

18．本題主要考查空間幾何體的直觀圖、三視圖，空間線面的位置關系等基礎知識；考察空間想象能力及推理論證能力，滿分12分。

解（I）由三視圖知這個多面體是一個水平放置的柱體，它的底面是邊長為的正三角形，側棱垂直于底面且長為       2分

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

???????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

（Ⅱ）連結

四邊形是平行四邊形，

過點。

為的中點，………………………………………8分

又是的中點，

，

平面平面

平面…………………………………………12分

19．本題主要考等差數列、數列求和等基礎知識：考查推理論證與運算求解能力；考查化歸與轉化思想，滿分12分。

解（I）點在函數的圖象上，

數列是以首項為2公差為2的等差數列，???????????????????????????????????????? 2分

?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

，????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

???????????????????????? 10分

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．本題主要考查概率與統計的基礎知識，考查運算求解能力及應用意識。

滿分12分。

解：（I）設樣本容量為，則，所以

所以樣本的容量為120???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（Ⅱ）設成績在120分到150分的學生有個，

則，所以????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（Ⅲ）設成績在120分到150分的學生中，男生比女生多的事件記為A，男生數與女生書記為數對（），則基本事件有：（5，15），（6，14），（7，13），（8，12），（9，11），

（10，10），（11，9），（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），（16，4），（17，3），

（18，2），（19，1），（20，0），共16對????????????????????????????????????????????????? 9分

而事件A包含的事件有：（11，9），（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），（16，4），

（17，3），（18，2），（19，1），（20，0）共10對。

所以??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

21．本題主要考查利用導數研究函數的性質，考查運算求解能力及數形結合思想。滿分12分。

解：（I）

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

依題意得??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）

等價于???????????????????????????????????????????????????? 6分

①當時恒成立，

的單調遞增區間為?????????????????????????????????????????????????????????? 8分

②當時，由得

的單調遞增區間為?????????????????????????????????????????????????????? 11分

綜上所述：當時的單調遞增區間為；

當時，的單調遞增區間為???????????????????????????????????????? 12分

22．本題主要考查直線與橢圓的位置關系等基礎知識；考查運算求解能力及化歸與轉化思想。滿分14分。

解：（I）設橢圓E的方程為

由已知得：

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

橢圓E的方程為?????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）設，線段中點的坐標為，則：

由得

化簡得：

……5分

直線過點

而點在橢圓E內，

?????????????????????????????????????????????????????????? 6分

所以PQ中垂直的方程為：

所以直線在軸上的截距??????????????????????????????????????? 8分

??????????????????????????????????????????????????????????? 9分

（Ⅲ）假設存在符號條件的點，則由（Ⅱ）得：

         ????????????????????????????????????????????????? 10分

????????????????????????? 11分

所以

            ?????????????????????????????????????????? 12分

設

即

對于任意實數，上式恒成立，

所以????????????????????????????????????????????????????????????????????? 13分

得

所以符合條件的點存在，其坐標為???????????????????????????????????????????? 14分