（2009江蘇卷）(本小題滿分16分)

按照某學者的理論，假設一個人生產某產品單件成本為元，如果他賣出該產品的單價為元，則他的滿意度為；如果他買進該產品的單價為元，則他的滿意度為.如果一個人對兩種交易(賣出或買進)的滿意度分別為和，則他對這兩種交易的綜合滿意度為.

現假設甲生產A、B兩種產品的單件成本分別為12元和5元，乙生產A、B兩種產品的單件成本分別為3元和20元，設產品A、B的單價分別為元和元，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為，乙賣出A與買進B的綜合滿意度為

(1)求和關于、的表達式；當時，求證：=；

(2)設，當、分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？

(3)記(2)中最大的綜合滿意度為，試問能否適當選取、的值，使得和同時成立，但等號不同時成立？試說明理由。

已知

（1）求函數在上的最小值

（2）對一切的恒成立，求實數a的取值范圍

（3）證明對一切，都有成立

【解析】第一問中利用

當時，在單調遞減，在單調遞增，當，即時，，

第二問中，，則設，

則，單調遞增，，，單調遞減，，因為對一切，恒成立， 

第三問中問題等價于證明，，

由（1）可知，的最小值為，當且僅當x=時取得

設，，則，易得。當且僅當x=1時取得.從而對一切，都有成立

解：（1）當時，在單調遞減，在單調遞增，當，即時，，

                 …………4分

（2），則設，

則，單調遞增，，，單調遞減，，因為對一切，恒成立，                                             …………9分

（3）問題等價于證明，，

由（1）可知，的最小值為，當且僅當x=時取得

設，，則，易得。當且僅當x=1時取得.從而對一切，都有成立

如圖，有三個并排放在一起的正方形，.

（1）求的度數；

（2）求函數的最大值及取得最大值時候的x值。

【解析】本試題主要是考查了三角函數的兩角和差的三角公式的運用以及三角函數性質的綜合運用。

（1）妨設正方形邊長為1，易知，可得得到結論。

（2）可知y的最大值，進而得到x的取值集合。

(本小題滿分13分）

古漢集團生產的A,B兩種型號的口服液供出口，國家為鼓勵產品出口，采用出口退稅政策：出口價值為a萬元的/1產品可獲得萬元的退稅款，出口價值為b萬元的B產品可獲得萬元的退稅款.已知廠家出口總價值為100萬元的A、B兩種口服液，且兩種口服液的出口價值都不低于10萬元.

(1) 當時，請你制定一個方案,使得在這次出口貿易中該企業獲得的退稅款最多，并求出其最大值;（精確到0.1，參考數據：)

(2) 記該企業獲得的退稅款的最大值函數為，，求的表達式.

(本小題滿分13分）
古漢集團生產的A,B兩種型號的口服液供出口，國家為鼓勵產品出口，采用出口退稅政策：出口價值為a萬元的/1產品可獲得萬元的退稅款，出口價值為b萬元的B產品可獲得萬元的退稅款.已知廠家出口總價值為100萬元的A、B兩種口服液，且兩種口服液的出口價值都不低于10萬元.
(1) 當時，請你制定一個方案,使得在這次出口貿易中該企業獲得的退稅款最多，并求出其最大值;（精確到0.1，參考數據：)
(2) 記該企業獲得的退稅款的最大值函數為，，求的表達式.