已知正項數列的前n項和滿足：，

（1）求數列的通項和前n項和；

（2）求數列的前n項和；

（3）證明：不等式  對任意的，都成立．

【解析】第一問中，由于所以

兩式作差，然后得到

從而得到結論

第二問中，利用裂項求和的思想得到結論。

第三問中，

又

結合放縮法得到。

解：（1）∵     ∴

      ∴

      ∴   ∴  ………2分

      又∵正項數列，∴           ∴ 

又n=1時，

∴   ∴數列是以1為首項，2為公差的等差數列……………3分

∴                             …………………4分

∴                   …………………5分 

（2）       …………………6分

    ∴

                          …………………9分

（3）

      …………………12分

又

        ，

   ∴不等式  對任意的，都成立．

（本大題18分）

閱讀下面所給材料：已知數列{a_n}，a₁=2，a_n=3a_n–1+2，求數列的通項a_n。

解：令a_n=a_n–1=x，則有x=3x+2，所以x= –1，故原遞推式a_n=3a_n–1+2可轉化為：

a_n+1=3（a_n–1+1），因此數列{a_n+1}是首項為a₁+1，公比為3的等比數列。

根據上述材料所給出提示，解答下列問題：

已知數列{a_n}，a₁=1，a_n=3a_n–1+4，

（1）求數列的通項a_n；并用解析幾何中的有關思想方法來解釋其原理；

（2）若記S_n=，求S_n;

（3）若數列{b_n}滿足：b₁=10，b_n+1=100，利用所學過的知識，把問題轉化為可以用閱讀材料的提示，求出解數列{b_n}的通項公式b_n。

（本題滿分16分，第1小題 4分，第2小題6分，第3小題6分）

   設函數，數列滿足．

⑴求數列的通項公式；

⑵設，若對恒成立，求實數的取值范圍；

⑶是否存在以為首項，公比為的數列，，使得數列中每一項都是數列中不同的項，若存在，求出所有滿足條件的數列的通項公式；若不存在，說明理由．

（本題滿分16分，第1小題 4分，第2小題6分，第3小題6分）

　 設函數，數列滿足．

⑴求數列的通項公式；

⑵設，若對恒成立，求實數的取值范圍；

⑶是否存在以為首項，公比為的數列，，使得數列中每一項都是數列中不同的項，若存在，求出所有滿足條件的數列的通項公式；若不存在，說明理由．

（本題滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）

       設函數,數列滿足，（∈N*，且≥2）。

   （1）求數列的通項公式；

   （2）設，若≥對∈N*恒成立，求實數的取值范圍；

   （3）是否存在以為首項，公比為（）的數列，，使得數列中的每一項都是數列中不同的項，若存在，求出所有滿足條件的數列的通項公式；若不存在，說明理由。