解：（1）由拋物線C₁：得頂點P的坐標為（2，5）………….1分

∵點A（－1，0）在拋物線C₁上∴.………………2分

（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G..

∵點P、M關于點A成中心對稱,

∴PM過點A，且PA＝MA..

∴△PAH≌△MAG..

∴MG＝PH＝5，AG＝AH＝3.

∴頂點M的坐標為（，5）.………………………3分

∵拋物線C₂與C₁關于x軸對稱，拋物線C₃由C₂平移得到

∴拋物線C₃的表達式.  …………4分

（3）∵拋物線C₄由C₁繞x軸上的點Q旋轉180°得到

∴頂點N、P關于點Q成中心對稱.

 由（2）得點N的縱坐標為5.

設點N坐標為（m，5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PR⊥NG于R.

∵旋轉中心Q在x軸上,

∴EF＝AB＝2AH＝6.

 ∴EG＝3，點E坐標為（，0），H坐標為（2，0），R坐標為（m，－5）.

根據勾股定理，得

     

  

       

①當∠PNE＝90º時，PN²+ NE²＝PE²，

解得m＝，∴N點坐標為（，5）

②當∠PEN＝90º時，PE²+ NE²＝PN²，

解得m＝，∴N點坐標為（，5）.

③∵PN＞NR＝10＞NE，∴∠NPE≠90º  ………7分

綜上所得，當N點坐標為（，5）或（，5）時，以點P、N、E為頂點的三角形是直角三角形．…………………………………………………………………………………8分