已知數列的前項和為，通項為，且滿足（是常數且）．

（I）求數列的通項公式；

（II） 當時，試證明；

（III）設函數，，是否存在正整數，使對都成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

（本小題13分）

設等比數列 的前項和為，首項，公比．

（I）證明：；

（II）若數列滿足，，求數列的通項公式；

（III）記，，數列的前項和為，求證：當時，．

（本小題13分）
設等比數列 的前項和為，首項，公比．
（I）證明：；
（II）若數列滿足，，求數列的通項公式；
（III）記，，數列的前項和為，求證：當時，．

已知數列的前五項依次是. 正數數列的前項和為，且.

（I）寫出符合條件的數列的一個通項公式；

（II）求的表達式；

（III）在（I）、（II）的條件下，，當時，設，是數列的前項和，且恒成立，求實數的取值范圍.

已知數列的前五項依次是. 正數數列的前項和為，且.

（I）寫出符合條件的數列的一個通項公式；

（II）求的表達式；

（III）在（I）、（II）的條件下，，當時，設，是數列的前項和，且恒成立，求實數的取值范圍.