（1）利用函數單調性的定義證明函數h(x)=x+

3

x

在[

3

，∞)上是增函數；
（2）我們可將問題（1）的情況推廣到以下一般性的正確結論：已知函數y=x+

t

x

有如下性質：如果常數t＞0，那么該函數在(0，

t

]上是減函數，在[

t

，+∞)上是增函數．
若已知函數f(x)=

4x2-12x-3

2x+1

，x∈[0，1]，利用上述性質求出函數f（x）的單調區間；又已知函數g（x）=-x-2a，問是否存在這樣的實數a，使得對于任意的x₁∈[0，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，若不存在，請說明理由；如存在，請求出這樣的實數a的值．

（2010•青浦區二模）[理科]定義：如果數列{a_n}的任意連續三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱{a_n}為“三角形”數列．對于“三角形”數列{a_n}，如果函數y=f（x）使得b_n=f（a_n）仍為一個“三角形”數列，則稱y=f（x）是數列{a_n}的“保三角形函數”，（n∈N^*）．
（1）已知{a_n}是首項為2，公差為1的等差數列，若f（x）=k^x，（k＞1）是數列{a_n}的“保三角形函數”，求k的取值范圍；
（2）已知數列{c_n}的首項為2010，S_n是數列{c_n}的前n項和，且滿足4S_n+1-3S_n=8040，證明{c_n}是“三角形”數列；
（3）根據“保三角形函數”的定義，對函數h（x）=-x²+2x，x∈[1，A]，和數列1，1+d，1+2d（d＞0）提出一個正確的命題，并說明理由．

（2011•鹽城二模）已知數列{a_n}單調遞增，且各項非負，對于正整數K，若任意的i，j（1≤i≤j≤K），a_j-a_i仍是{a_n}中的項，則稱數列{a_n}為“K項可減數列”．
（1）已知數列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數列，且數列{a_n-2}是“K項可減數列”，試確定K的最大值；
（2）求證：若數列{a_n}是“K項可減數列”，則其前n項的和Sn=

n

2

an(n=1，2，…，K)；
（3）已知{a_n}是各項非負的遞增數列，寫出（2）的逆命題，判斷該逆命題的真假，并說明理由．

（2012•閔行區一模）設數列{a_n}的各項均為正數，前n項和為S_n，已知4Sn=

a

2 n

+2an+1(n∈N*)．
（1）證明數列{a_n}是等差數列，并求其通項公式；
（2）證明：對任意m、k、p∈N^*，m+p=2k，都有

1

Sm

+

1

Sp

≥

2

Sk

；
（3）對于（2）中的命題，對一般的各項均為正數的等差數列還成立嗎？如果成立，請證明你的結論，如果不成立，請說明理由．