設A是如下形式的2行3列的數表，

a	b	c
d	e	f

滿足性質P：a，b，c，d，e，f，且a+b+c+d+e+f=0

記為A的第i行各數之和（i=1,2）, 為A的第j列各數之和（j=1,2,3）記為中的最小值。

（1）對如下表A，求的值

1	1	-0.8
0.1	-0.3	-1

(2)設數表A形如

1	1	-1-2d
d	d	-1

其中，求的最大值

（3）對所有滿足性質P的2行3列的數表A，求的最大值。

【解析】（1）因為，，所以

（2），

因為，所以，

所以

當d=0時，取得最大值1

（3）任給滿足性質P的數表A（如圖所示）

a	b	c
d	e	f

任意改變A的行次序或列次序，或把A中的每個數換成它的相反數，所得數表仍滿足性質P，并且，因此，不妨設，，

由得定義知，，，，

從而

     

所以，，由（2）知，存在滿足性質P的數表A使，故的最大值為1

【考點定位】此題作為壓軸題難度較大，考查學生分析問題解決問題的能力，考查學生嚴謹的邏輯思維能力

 

設A是由m×n個實數組成的m行n列的數表，滿足：每個數的絕對值不大于1，且所有數的和為零，記s(m，n)為所有這樣的數表構成的集合。

對于A∈S(m,n),記r_i(A)為A的第ⅰ行各數之和（1≤ⅰ≤m），C_j(A)為A的第j列各數之和（1≤j≤n）：

記K(A)為∣r₁(A)∣,∣R₂(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C₁(A)∣,∣C₂(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。

（1）   對如下數表A，求K（A）的值；

1	1	-0.8
0.1	-0.3	-1

 

（2）設數表A∈S（2,3）形如

1	1	c
a	b	-1

 

求K（A）的最大值；

（3）給定正整數t，對于所有的A∈S（2,2t+1），求K（A）的最大值。

【解析】（1）因為，

所以

（2）  不妨設.由題意得.又因為，所以，

于是，，

    

所以，當，且時，取得最大值1。

（3）對于給定的正整數t，任給數表如下，

		…
		…

任意改變A的行次序或列次序，或把A中的每一個數換成它的相反數，所得數表

，并且，因此，不妨設，

且。

由得定義知，，

又因為

所以

     

     

所以，

對數表：

1	1	…	1		…
		…		-1	…	-1

 

則且，

綜上，對于所有的，的最大值為