已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)短軸長為2，P（x₀，y₀）（x₀≠±a）是橢圓上一點，A，B分別是橢圓的左、右頂點，直線PA，PB的斜率之積為-

1

4

．
（1）求橢圓的方程；
（2）當∠F₁PF₂為鈍角時，求P點橫坐標的取值范圍；
（3）設F₁，F₂分別是橢圓的左右焦點，M、N是橢圓右準線l上的兩個點，若

F1M

•

F2N

=0，求MN的最小值．

（2013•荊門模擬）如圖，已知直線OP₁，OP₂為雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線，△P₁OP₂的面積為

27

4

，在雙曲線E上存在點P為線段P₁P₂的一個三等分點，且雙曲線E的離心率為

13

2

．
（1）若P₁、P₂點的橫坐標分別為x₁、x₂，則x₁、x₂之間滿足怎樣的關系？并證明你的結論；
（2）求雙曲線E的方程；
（3）設雙曲線E上的動點M，兩焦點F₁、F₂，若∠F₁MF₂為鈍角，求M點橫坐標x₀的取值范圍．

（2012•湘潭模擬）設A為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點，點A關于原點的對稱點為B，F為橢圓的右焦點，且AF⊥BF，設∠ABF=θ．
（1）|AB|=；
（2）若θ∈[

π

12

，

π

4

]，則該橢圓離心率的取值范圍為．