已知f（x）=log

1

2

x，當點M（x，y）在y=f（x）的圖象上運動時，點N（x-2，ny）在函數y=g_n（x）的圖象上運動（n∈N^*）．
（1）求y=g_n（x）的表達式；
（2）若方程g₁（x）=g₂（x-2+a）有實根，求實數a的取值范圍；
（3）設Hn(x)=2gn(x)，函數F（x）=H₁（x）+g₁（x）（0＜a≤x≤b）的值域為[log2

5 2

b+2

，log2

4 2

a+2

]，求實數a，b的值．

已知函數f(x)=cos(x-

π

4

)．先把y=f（x）的圖象上所有點向左平移

π

4

個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的

1

2

（縱坐標不變）得到函數y=g（x）的圖象．
（1）寫出函數g（x）的解析式；
（2）已知f(α)=

3

5

，α∈(

π

2

，

3π

2

)，求f（2α）的值；
（3）設g₁（x），g₂（x）是定義域為R的兩個函數，滿足g₂（x）=g₁（x+θ），其中θ是常數，且θ∈[0，π]．請設計一個函數y=g₁（x），給出一個相應的θ值，使得g（x）=g₁（x）•g₂（x）．并予以證明．