（本小題滿分13分）

已知二次函數同時滿足：①不等式的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在，使得不等式成立．

設數列的前項和，

（1）求數列的通項公式；

（2）數列中，令，，求；

（3）設各項均不為零的數列中，所有滿足的正整數的個數稱為這個數列的變號數。令（為正整數），求數列的變號數．

 

（本小題滿分16分）

已知二次函數同時滿足：①不等式的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在，使得不等式成立。設數列的前n項和。

  （1）求函數的表達式；  （2）求數列的通項公式；（3）設各項均不為零的數列中，所有滿足的整數I的個數稱為這個數列的變號數。令（n為正整數），求數列的變號數.

(本小題滿分14分)

已知函數，在定義域內有且只有一個零點，存在， 使得不等式成立. 若，是數列的前項和.

（I）求數列的通項公式；

（II）設各項均不為零的數列中，所有滿足的正整數的個數稱為這個數列的變號數，令（n為正整數），求數列的變號數；

（Ⅲ）設（且），使不等式

 恒成立，求正整數的最大值．

已知等差數列{log₄（a_n-1）}（n∈N^*），且a₁=5，a₃=65，函數f（x）=x²-4x+4，設數列{b_n}的前n項和為S_n=f（n），
（1）求數列{a_n}與數列{b_n}的通項公式；
（2）記數列c_n=（a_n-1）•b_n，且{c_n}的前n項和為T_n，求T_n；
（3）設各項均不為零的數列{d_n}中，所有滿足d_k•d_k+1＜0的整數k的個數稱為這個數列的異號數，令d_n=

bn-4

bn

（n∈N^*），試問數列{d_n}是否存在異號數，若存在，請求出；若不存在，請說明理由．

已知二次函數f（x）=x²-ax+a（x∈R）同時滿足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．設數列{a_n}的前n項和S_n=f（n），
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）試構造一個數列{b_n}，（寫出{b_n}的一個通項公式）滿足：對任意的正整數n都有b_n＜a_n，且

lim

n→∞

an

bn

=2，并說明理由；
（3）設各項均不為零的數列{c_n}中，所有滿足c_i-c_i+1＜0的正整數i的個數稱為這個數列{c_n}的變號數．令c_n=1-

a

an

（n為正整數），求數列{c_n}的變號數．