設函數f（x）=（x-1）²+a1nx，其中a為常數．
（Ⅰ）當a＞時，判斷函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）若函數f（x）在其定義域上既有極大值又有極小值，求a的取值范圍．

設函數f（x）=（x-1）²+a1nx，其中a為常數．
（Ⅰ）當a＞

1

2

時，判斷函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）若函數f（x）在其定義域上既有極大值又有極小值，求a的取值范圍．

（理）已知函數f（x）=x²+aln（x+1）．
（1）若函數f（x）在定義域內既有極大值又有極小值，求實數a的取值范圍；
（2）證明：a=1時，對于任意的x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞

5

2

；
（3）是否存在最小的正整數N，使得當n≥N時，不等式ln

n+1

n

＞

n-1

n3

恒成立．

（理）已知函數f（x）=x²+aln（x+1）．
（1）若函數f（x）在定義域內既有極大值又有極小值，求實數a的取值范圍；
（2）證明：a=1時，對于任意的x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞

5

2

；
（3）是否存在最小的正整數N，使得當n≥N時，不等式ln

n+1

n

＞

n-1

n3

恒成立．