（本題滿分12分）
設二次函數，對任意實數，有恒成立；數列滿足.
（1）求函數的解析式；
（2）試寫出一個區間，使得當時，且數列是遞增數列，并說明理由；
（3）已知，是否存在非零整數，使得對任意，都有
 恒成立，若存在，求之；若不存在，說明理由.

（本題滿分12分）

設二次函數，對任意實數，有恒成立；數列滿足.

（1）求函數的解析式；

（2）試寫出一個區間，使得當時，且數列是遞增數列，并說明理由；

（3）已知，是否存在非零整數，使得對任意，都有

 恒成立，若存在，求之；若不存在，說明理由.

已知，設和是方程的兩個根，不等式對任意實數恒成立；函數有兩個不同的零點.求使“P且Q”為真命題的實數的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了命題和函數零點的運用。由題設x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

當a∈[1,2]時，的最小值為3. 當a∈[1,2]時，的最小值為3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|對任意實數a∈[1,2]恒成立，只須|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判別式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

可得到要使“P∧Q”為真命題，只需P真Q真即可。

解：由題設x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2，

∴|x₁－x₂|＝＝.

當a∈[1,2]時，的最小值為3.

要使|m－5|≤|x₁－x₂|對任意實數a∈[1,2]恒成立，只須|m－5|≤3，即2≤m≤8.

由已知，得f(x)＝3x²＋2mx＋m＋＝0的判別式

Δ＝4m²－12(m＋)＝4m²－12m－16>0，

得m<－1或m>4.

綜上，要使“P∧Q”為真命題，只需P真Q真，即

解得實數m的取值范圍是(4,8]

（本小題滿分12分）

設二次函數，對任意實數，有恒成立；數列滿足.

（1）求函數的解析式和值域；

（2）試寫出一個區間，使得當時，數列在這個區間上是遞增數列，并說明理由；

（3）已知，是否存在非零整數，使得對任意，都有

 恒成立，若存在，求之；若不存在，說明理由.