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題目列表(包括答案和解析)

（Ⅰ）設函數f（x）=ln（1+x）-
2x
x+2
，證明：當x＞0時，f（x）＞0；
（Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續抽取20次，設抽得的20個號碼互不相同的概率為P．證明：P＜(
9
10
)19＜
1
e2
．

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（Ⅰ）如圖1，A，B，C是平面內的三個點，且A與B不重合，P是平面內任意一點，若點C在直線AB上，試證明：存在實數λ，使得：
PC
=λ
PA
+(1-λ)
PB
．
（Ⅱ）如圖2，設G為△ABC的重心，PQ過G點且與AB、AC（或其延長線）分別交于P，Q點，若
AP
=m
AB
，
AQ
=n
AC
，試探究：
1
m
+
1
n
的值是否為定值，若為定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由．

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（Ⅰ）求證：
C
m
n
=
n
m
C
m-1
n-1
；
（Ⅱ）利用第（Ⅰ）問的結果證明Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1；  
（Ⅲ）其實我們常借用構造等式，對同一個量算兩次的方法來證明組合等式，譬如：（1+x）1+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=
(1+x)[1-(1+x)n]
1-(1+x)
=
(1+x)n+1-(1+x)
x
；，由左邊可求得x2的系數為C22+C32+C42+…+Cn2，利用右式可得x2的系數為Cn+13，所以C22+C32+C42+…+Cn2=Cn+13．請利用此方法證明：（C2n0）2-（C2n1）2+（C2n2）2-（C2n3）2+…+（C2n2n）2=（-1）nC2nn．

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（Ⅰ）如圖1，是平面內的三個點，且與不重合，是平面內任意一點，若點在直線上，試證明：存在實數，使得：.
（Ⅱ）如圖2,設為的重心,過點且與、（或其延長線）分別交于點，若，，試探究：的值是否為定值，若為定值，求出這個
定值；若不是定值，請說明理由.
 

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（Ⅰ）設函數，證明：當時，；

（Ⅱ）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續抽取20次，設抽得的20個號碼互不相同的概率為。證明：。

注：可用（Ⅰ）的結論。

 

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