已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E，F分別為D₁C₁，B₁C₁上的點．且滿足

C1E

=λ

C1D1

，

C1F

=λ

C1B1

(0＜λ＜1)，
（1）若在AB上有一點P，使A₁C⊥平面PEF，求

|AP|

|AB|

的值．
（2）求此正方體在平面PEF內射影的面積．

（2008•楊浦區二模）在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，（如圖）E是棱C₁D₁的中點，F是側面AA₁D₁D的中心．
（1）求三棱錐A₁-D₁EF的體積；
（2）求EF與底面A₁B₁C₁D₁所成的角的大�。�（結果可用反三角函數表示）

（2013•安徽）如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，P為BC的中點，Q為線段CC₁上的動點，過點A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S，則下列命題正確的是（寫出所有正確命題的編號）．
①當0＜CQ＜

1

2

時，S為四邊形
②當CQ=

1

2

時，S為等腰梯形
③當CQ=

3

4

時，S與C₁D₁的交點R滿足C₁R=

1

3

④當

3

4

＜CQ＜1時，S為六邊形
⑤當CQ=1時，S的面積為

6

2

．

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BC、C₁D₁的中點．求證：
（1）平面D₁AC⊥平面B₁D₁BD；  
（2）直線EF∥平面D₁AC．