如圖，在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，為棱上一點，且平面平面.

（Ⅰ）求證：點為棱的中點；

（Ⅱ）判斷四棱錐和的體積是否相等，并證明。

【解析】本試題主要考查了立體幾何中的體積問題的運用。第一問中，

易知，面。由此知：從而有又點是的中點，所以，所以點為棱的中點.

（2）中由A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD，D為BB₁中點，可以得證。

（1）過點作于點，取的中點，連。面面且相交于，面內的直線，面�！�…3分

又面面且相交于，且為等腰三角形，易知，面。由此知：，從而有共面，又易知面，故有從而有又點是的中點，所以，所以點為棱的中點.               …6分

（2）相等．ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴BB₁⊥A₁B₁，BB₁⊥BC，又A₁B₁⊥B₁C₁，BC⊥AB，

∴A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD（9分）∴V_A1-B1C1CD=1 /3 S_B1C1CD•A₁B₁=1/ 3 ×1 2 (B₁D+CC₁)×B₁C₁×A₁B₁VC-A₁ABD=1 /3 S_A1ABD•BC=1 /3 ×1 2 (BD+AA₁)×AB×BC∵D為BB₁中點，∴V_A1-B1C1CD=V_C-A1ABD

 

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，PA=AD=1，PA⊥面ABCD，E是AB的中點，F為PC上一點，且
EF∥面PAD．
（I）證明：F為PC的中點；
（II）若AB=2，求二面角C-PD-E的平面角的余弦值．

2008年世界經濟出現嚴重衰退，我國政府為了刺激經濟增長，2009年開始加大貨幣貸款量，為一批中小企業解決資經短缺問題．某私營企業獲得一筆貸款準備新建一棟面積為10000m²，高為10m，底面為矩形的廠房，由于受地理環境的影響，矩形的一邊（南北方向）不能超過a（m），已知廠房的地面造價為800元/m²，頂的造價為500元/m²，墻壁的造價為600元/m²，設廠房南北方向長為x（m），造價為y（元）．
（Ⅰ）寫出用x（m）表示y（元）的函數關系式并指出定義域；
（Ⅱ）求x為何值時廠房的造價最低，并求出最低價．