（本題滿分14分）

已知實數，曲線與直線的交點為(異于原點)，在曲線 上取一點，過點作平行于軸，交直線于點，過點作平行于軸，交曲線于點，接著過點作平行于軸，交直線于點，過點作平行于軸，交曲線于點，如此下去，可以得到點，，…,,… .  設點的坐標為，.

（Ⅰ）試用表示，并證明；   

（Ⅱ）試證明，且（）；

（Ⅲ）當時，求證：  （）.

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（本題滿分14分）

已知曲線方程為，過原點O作曲線的切線

（1）求的方程；

（2）求曲線，及軸圍成的圖形面積S；

（3）試比較與的大小，并說明理由。

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

A

B

D

D

C

A

A

B

A

C

D

二、填空題13.；  14.；  15.；     16..

三、解答題

１7．（1）

    兩兩相互垂直, 連結并延長交于F．

    同理可得

             ------------  (6分)

（2）是的重心,    F是SB的中點

   梯形的高  

     ---     (12分)

【注】可以用空間向量的方法

18．解：

   （1）設通過3次檢測，就可以把3箱含“三聚氰胺”的牛奶全部篩選出來的事件為A

                                                           1分

       P（A）=                                    5分

       所以通過3次檢測，就可以把3箱含“三聚氰胺”的牛奶全部篩選出來的概率為…6分

（2）設最多通過4次檢測，就可以把3箱含“三聚氰胺”的牛奶全部篩選出來的事件為B … 7分

       P（B）=                           11分

       所以最多通過4次檢測，就可以把3箱含“三聚氰胺”的牛奶全部篩選出來的概率為… 12分

19．（1）.

又.

.………6分

（2）

又，

.從而

當且同向時，.………12分

20.解：(1) ,

令，由得或...

當時，，當時,,所以處取極小值，即                                                           …………4分

（2）

處取得極小值，即由即

由四邊形ABCD是梯形及BC與AD不平行，得.有即

由四邊形ABCD的面積為1，得即得，從而得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……12分

21．（1）設雙曲線C₂的方程為= 1，則a² = 4 ? 1 = 3，再由a² + b² = c²得b² = 1．故C₂的方程為= 1．                                                    （5分）

    （2）將y = kx +代入得(1 + 4k²)x² + 8kx + 4 = 0，由直線l與橢圓C₁恒有兩個不同的交點得(8)²k² ? 16 (1 + 4k²) = 16(4k² ? 1)＞0，即k²＞．①(7分)

將y = kx + 代入得(1 ? 3k²)x² ? 6kx ? 9 = 0．由直線l與雙曲線C₂恒有兩個不同的交點A、B得．即k≠且k²＜1．②（9分）

設A (x_A，y_A)，B (x_B，y_B)，則x_A + x_B = ，x_A，x_B = ，由得x_A x_B + y_A y_B＜6，而x_A x_B + y_A y_B = x_A x_B + (kx_A + )  (kx_b + )= (k² + 1) x_A x_B + k (x_A + x_B) + 2 = (k² + 1)?，于是＜6，即將．解此不等式得或．                                  　　�、�      （11分）

由①、②、③得，

故k的取值范圍為．                   （12分）

22．（1）．

（２），

則，

．

（３），

即　　　　　　①

又由于，

則，

兩式相減得，

，當且時是增函數，

的最小值是，　　　�、�

由①②得： 成立．