（本題滿分14分）

已知實數，曲線與直線的交點為(異于原點)，在曲線 上取一點，過點作平行于軸，交直線于點，過點作平行于軸，交曲線于點，接著過點作平行于軸，交直線于點，過點作平行于軸，交曲線于點，如此下去，可以得到點，，…,,… .  設點的坐標為，.

（Ⅰ）試用表示，并證明；   

（Ⅱ）試證明，且（）；

（Ⅲ）當時，求證：  （）.

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（本題滿分14分）

已知曲線方程為，過原點O作曲線的切線

（1）求的方程；

（2）求曲線，及軸圍成的圖形面積S；

（3）試比較與的大小，并說明理由。

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一.DACAC；DBBBC；二.11.31；12. ；13. ；14.80；15.-3.

16解：（Ⅰ）由圖得

X     

(0,1) 

 1 

(1,2)

 2

0   

 0       

極大值  

極小值

故當x（0, 1）時，f(x)是增函數，當 x（2,，+∞）時，f(x)也是增函數，

當x（1 ，2）時，f(x)是減函數. ……………………………5分

則=1; ……………………………7分

（Ⅱ）依題意得      ……………10分    即

.……………………………13分

17、解：（Ⅰ）求導得�！�…………………………1分

 由于 的圖像與直線相切于點，所以，……3分

即：              1－3a+3b = -11 解得: ．…………6分

                  3-6a+3b=-12

（Ⅱ）由得：……7分

令f′（x）＞0，解得 x＜-1或x＞3；………9分，又令f′（x）< 0，解得 -1＜x＜3. ……10分

故當x（, -1）時，f(x)是增函數，當 x（3,）時，f(x)也是增函數，………………12分

當x（-1 ，3）時，f(x)是減函數. ……………………………13分

18. 解  ⑴ …………1分

 由題意知,1與3是方程的兩根, …………2分

于是  …………4分

當時,  當時,  當時,

故當x（, 1）時，f(x)是增函數，當 x（3,）時，f(x)也是增函數，

但當x（1 ，3）時，f(x)是減函數. ……………………………7分

 ⑵

當時,  當時,  當時,

 當時,有極小值10c…………9分

又時, 的最小值為10c-16…………10分

對任意恒成立…………11分

即   c的取值范圍是  ……………………………13分

19解：（I）當時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，…………2分

要耗沒（升）�！�………4分

答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升�！�………5分

（II）當速度為千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，…………6分，設耗油量為升，依題意得…………8分

     令得…………10分

當時，是減函數；  當時，是增函數。

當時，取到極小值

       因為在上只有一個極值，所以它是最小值�！�………12分

答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升�！�……13分

20解：（1）……………………………………2分

因為當時，，所以是函數的遞增區間；

當時，，所以是函數的遞減區間；…………5分

顯然，當時，函數有最大值，最大值為………………7分。

（2）令則，

………………………………………………10分

當時，，所以在（1，+∞）上為增函數�！�……………………12分

所以當時， ，………………………13分

故即………………………………………………14分

21解:(1)令F(x)=f(x)－g(x)=x³+(2－a)x²+4,

∴f(x)≥g(x)在［0,+∞）上恒成立等價于F(x)_min≥0(x∈［0,+∞）). ………………………1分

F′(x)= 3x²+2(2－a)x,

 ①若2－a≥0,即a≤2時, F（x）在［0,+∞）是增函數，F(x)_min=4＞0; ………3分

②若2－a＜0,即a＞2時,F′(x)=3x²－2(a－2)x=3x［x－］.由于F′()=0,

且當x＞時,F′(x)＞0;當0≤x＜時,F(x)_min=F()≥0,   ………………………6分

即()³－(a－2)( )²+4≥0,得a≤5.∴2＜a≤5.又a≤2, ………………………7分

取并集得a的取值范圍是（－∞,5］.       ………………………8分

(2)由題意f(x)_min≥g(x)_max,x∈［0,+∞）.

x∈［0,+∞）時顯然,f(x)_min=－4(當x=0時,取最小值). ………………10分

∵a≥0時,g(x)圖像開口向上，無最大值,不合題意, ………………………11分

∴a＜0.又∵－∈［0,+∞),g(x)_max=－,   ………………………13分

∴－≤－4.∴a≤－.∴a的取值范圍是（－∞,－］.  ………………………14分