題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
已知函數
。
（1）證明：
（2）若數列
的通項公式為
，求數列 的前
項和
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（3）設數列
滿足：
，設
，
若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數
，
恒成立，
試求的最大值。
（本小題滿分14分）已知
，點
在
軸上，點
在
軸的正半軸，點
在直線
上，且滿足
，
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（Ⅰ）當點在軸上移動時，求動點的軌跡
方程；
的直線
與軌跡交于
、
兩點，又過、作軌跡的切線
、
，當
，求直線的方程.（本小題滿分14分）設函數
（1）求函數
的單調區間；
（2）若當
時，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
的方程
在區間
上恰好有兩個相異的實根，求實數
的取值范圍。（本小題滿分14分）
已知
，其中
是自然常數，
（1）討論
時, 
的單調性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求證：在（1）的條件下，
；
（3）是否存在實數
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
（本小題滿分14分）
設數列
的前
項和為
，對任意的正整數，都有
成立，記
。
（I）求數列
的通項公式；
（II）記
，設數列
的前項和為
，求證：對任意正整數都有
；
（III）設數列的前項和為
。已知正實數
滿足：對任意正整數
恒成立，求的最小值。
一.DACAC；DBBBC；
；13. 
；14.80；15.-3.
16解：（Ⅰ）由圖得
X
(0,1)
1
(1,2)
2
0
0
極大值
極小值
故當x
（0, 1）時，f(x)是增函數，當 x（2,，+∞）時，f(x)也是增函數，
當x（1 ，2）時，f(x)是減函數. ……………………………5分
則
=1; ……………………………7分
（Ⅱ）依題意得
……………10分 即
.……………………………13分
17、解：（Ⅰ）求導得
�！�1分
由于 
的圖像與直線
相切于點
，所以
，……3分
即： 
1－
．…………6分
3
（Ⅱ）由得：
……7分
令f′（x）＞0，解得 x＜-1或x＞3；………9分，又令f′（x）< 0，解得 -1＜x＜3. ……10分
故當x（
, -1）時，f(x)是增函數，當 x（3,
）時，f(x)也是增函數，………………12分
當x（-1 ，3）時，f(x)是減函數. ……………………………13分
18. 解 
⑴ 
…………1分
由題意知,1與3是方程
的兩根, …………2分
于是 
…………4分
當
時,
當
時,
當
時,
故當x（, 1）時，f(x)是增函數，當 x（3,）時，f(x)也是增函數，
但當x（1 ，3）時，f(x)是減函數. ……………………………7分
⑵
當
時, 當時, 當
時,
當
時,有極小值
又
時, 的最小值為
對任意
恒成立
…………11分
即
c的取值范圍是 
……………………………13分
19解：（I）當
時，汽車從甲地到乙地行駛了
小時，…………2分
要耗沒
（升）。…………4分
答：當汽車以
（II）當速度為
千米/小時時，汽車從甲地到乙地行駛了
小時，…………6分，設耗油量為
升，依題意得
…………8分
令
得
…………10分
當
時，
是減函數； 當
時，
是增函數。
當
時，取到極小值
因為在
上只有一個極值，所以它是最小值。…………12分
答：當汽車以
20解：（1）
……………………………………2分
因為當
時，
，所以
是函數的遞增區間；
當
時，
，所以
是函數的遞減區間；…………5分
顯然，當
時，函數
有最大值，最大值為
………………7分。
（2）令
則
，
………………………………………………10分
當
時，
，所以
在（1，+∞）上為增函數。………………………12分
所以當時， 
，………………………13分
故
即
………………………………………………14分
21解:(1)令F(x)=f(x)－g(x)=x3+(2－a)x2+4,
∴f(x)≥g(x)在［0,+∞）上恒成立等價于F(x)min≥0(x∈［0,+∞）). ………………………1分
F′(x)= 3x2+2(2－a)x,
①若2－a≥0,即a≤2時, 
F（x）在［0,+∞）是增函數，F(x)min=4＞0; ………3分
②若2－a＜0,即a＞2時,F′(x)=3x2－2(a－2)x=3x［x－
］.由于F′(
)=0,
且當x＞時,F′(x)＞0;當0≤x＜時,F(x)min=F()≥0, ………………………6分
即()3－(a－2)(
)2+4≥0,得a≤5.∴2＜a≤5.又a≤2, ………………………7分
取并集得a的取值范圍是（－∞,5］. ………………………8分
(2)由題意f(x)min≥g(x)max,x∈［0,+∞）.
x∈［0,+∞）時
顯然,f(x)min=－4(當x=0時,取最小值). ………………10分
∵a≥0時,g(x)圖像開口向上，無最大值,不合題意, ………………………11分
∴a＜0.又∵－
∈［0,+∞),g(x)max=－
, ………………………13分
∴－≤－4.∴a≤－
.∴a的取值范圍是（－∞,－］. ………………………14分
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