（本小題滿分12分）

設數列｛a_n｝的首項a₁∈（0,1），a_n+1=（n∈N₊）

（I）求｛a_n｝的通項公式

（II）設b_n=a_n，判斷數列｛b_n｝的單調性，并證明你的結論

 

已知等比數列{a_n}的首項為a₁=2，公比為q（q為正整數），且滿足3a₃是8a₁與a₅的等差中項；數列{b_n}滿足2n²-（t+b_n）n+

3

2

b_n=0（t∈R，n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）試確定t的值，使得數列{b_n}為等差數列；
（3）當{b_n}為等差數列時，對任意正整數k，在a_k與a_k+1之間插入2共b_k個，得到一個新數列{c_n}．設T_n是數列{c_n}的前n項和，試求滿足T_n=2c_m+1的所有正整數m的值．

從數列{a_n}中取出部分項，并將它們按原來的順序組成一個數列，稱之為數列{a_n}的一個子數列．設數列{a_n}是一個首項為a₁、公差為d（d≠0）的無窮等差數列．
（1）若a₁，a₂，a₅成等比數列，求其公比q．
（2）若a₁=7d，從數列{a_n}中取出第2項、第6項作為一個等比數列的第1項、第2項，試問該數列是否為{a_n}的無窮等比子數列，請說明理由．
（3）若a₁=1，從數列{a_n}中取出第1項、第m（m≥2）項（設a_m=t）作為一個等比數列的第1項、第2項，試問當且僅當t為何值時，該數列為{a_n}的無窮等比子數列，請說明理由．