三棱柱中，側棱與底面垂直，，，分別是，的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求三棱錐的體積．

【解析】第一問利連結，，∵M,N是AB，的中點∴MN//．

又∵平面，∴MN//平面．      ----------4分

⑵中年∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱與底面垂直，∴四邊形是正方形．∴．∴．連結，．

∴，又N中的中點，∴．

∵與相交于點C，∴MN平面．      --------------9分

⑶中由⑵知MN是三棱錐M-的高．在直角中，，

∴MN=．又．．得到結論。

⑴連結，，∵M,N是AB，的中點∴MN//．

又∵平面，∴MN//平面．   --------4分

⑵∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱與底面垂直，

∴四邊形是正方形．∴．

∴．連結，．

∴，又N中的中點，∴．

∵與相交于點C，∴MN平面．      --------------9分

⑶由⑵知MN是三棱錐M-的高．在直角中，，

∴MN=．又．

已知正項數列的前n項和滿足：，

（1）求數列的通項和前n項和；

（2）求數列的前n項和；

（3）證明：不等式  對任意的，都成立．

【解析】第一問中，由于所以

兩式作差，然后得到

從而得到結論

第二問中，利用裂項求和的思想得到結論。

第三問中，

又

結合放縮法得到。

解：（1）∵     ∴

      ∴

      ∴   ∴  ………2分

      又∵正項數列，∴           ∴ 

又n=1時，

∴   ∴數列是以1為首項，2為公差的等差數列……………3分

∴                             …………………4分

∴                   …………………5分 

（2）       …………………6分

    ∴

                          …………………9分

（3）

      …………………12分

又

        ，

   ∴不等式  對任意的，都成立．