已知二次函數f（x）=x²+x的定義域D 恰是不等式 f（-x）+f（x）≤2|x|的解集，其值域為A．函數 g(x)=x3-3tx+

1

2

t的定義域為[0，1]，值域為B．
（1）求f （x） 的定義域D和值域 A；
（2）（理） 試用函數單調性的定義解決下列問題：若存在實數x₀∈（0，1），使得函數 g(x)=x3-3tx+

1

2

t在[0，x₀]上單調遞減，在[x₀，1]上單調遞增，求實數t的取值范圍并用t表示x₀．
（3）（理） 是否存在實數t，使得A⊆B成立？若存在，求實數t 的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（4）（文） 是否存在負實數t，使得A⊆B成立？若存在，求負實數t 的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（5）（文） 若函數g(x)=x3-3tx+

1

2

t在定義域[0，1]上單調遞減，求實數t的取值范圍．

已知函數f（x）的定義域D=（-∞，0）∪（0，+∞），且對于任意x₁，x₂∈D，均有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當x＞1時，f（x）＞0；
（1）求f（1）與f（-1）的值；             
（2）判斷函數的奇偶性并證明；
（3）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（4）若f（4）=1，解不等式f（3x+1）≤2．

函數y=f（x）的定義域D={x|x∈R，且x≠0}，對定義域D內任意兩個實數x₁，x₂，都有f（x₁）+f（x₂）=f（x₁x₂）成立．
（1）求f（-1）的值并證明y=f（x）為偶函數；
（2）若f（-4）=4，記 an=(-1)n•f(2n)

&(n∈N，n≥1)

，求數列{a_n}的前2009項的和S₂₀₀₉；
（3）（理） 若x＞1時，f（x）＜0，且不等式f(

x2+y2

)≤f(

xy

)+f(a)對任意正實數x，y恒成立，求非零實數a的取值范圍．
（4）（文） 若x＞1時，f（x）＜0，解關于x的不等式 f（x-3）≥0．

（2013•普陀區二模）已知a＞0且a≠1，函數f（x）=log_a（x+1），g(x)=loga

1

1-x

，記F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函數F（x）的定義域D及其零點；
（2）若關于x的方程F（x）-m=0在區間[0，1）內有解，求實數m的取值范圍．