題目列表(包括答案和解析)
如圖所示的長方體中,底面
是邊長為
的正方形,
為
與
的交點,
,
是線段
的中點.
(Ⅰ)求證:平面
;
(Ⅱ)求證:平面
;
(Ⅲ)求二面角的大。
【解析】本試題主要考查了線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理,以及二面角的求解的運用。中利用,又
平面
,
平面
,∴
平面
由
,
,又
,∴
平面
.
可得證明
(3)因為∴為面
的法向量.∵
,
,
∴為平面
的法向量.∴利用法向量的夾角公式,
,
∴與
的夾角為
,即二面角
的大小為
.
方法一:解:(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標系.連接,則點
、
,
∴,又點
,
,∴
∴,且
與
不共線,∴
.
又平面
,
平面
,∴
平面
.…………………4分
(Ⅱ)∵,
∴,
,即
,
,
又,∴
平面
. ………8分
(Ⅲ)∵,
,∴
平面
,
∴為面
的法向量.∵
,
,
∴為平面
的法向量.∴
,
∴與
的夾角為
,即二面角
的大小為
【命題意圖】此題是一個數列與類比推理結合的問題,既考查了數列中等差數列和等比數列的知識,也考查了通過已知條件進行類比推理的方法和能力
已知各項都不為零的數列的前n項和為
,
,向量
,其中
N*,且
∥
.
(Ⅰ)求數列的通項公式及
;
(Ⅱ)若數列的前n項和為
,且
(其中
是首項
,第四項為
的等比數列的公比),求證:
.
【解析】本試題主要考查了數列的通項公式和前n項和公式的運用。
(1)因為,對n=1,
分別求解通項公式,然后合并。利用
,求解
(2)利用
裂項后求和得到結論。
解:(1) ……1分
當時,
……2分
(
)……5分
……7分
……9分
證明:當時,
當時,
已知數列{an}及fn(x)=a1x+a2x2+…+anxn, fn(-1)=(-1)nn,n=1,2,3,…,
(1)求 a1, a2, a3的值;
(2)求數列{an}的通項公式;
(3)求證: .
【解析】本試題主要是考查了數列中歸納猜想的原理,意義運用函數關系求解數列的通項公式,并且運用錯位相減法求解數列的和的數學思想。
已知數列的前
項和為
,且
(
N*),其中
.
(Ⅰ) 求的通項公式;
(Ⅱ) 設 (
N*).
①證明: ;
② 求證:.
【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的求解和運用。運用關系式,表示通項公式,然后得到第一問,第二問中利用放縮法得到
,②由于
,
所以利用放縮法,從此得到結論。
解:(Ⅰ)當時,由
得
. ……2分
若存在由
得
,
從而有,與
矛盾,所以
.
從而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①證明:
證法一:∵∴
∴
∴.…………10分
證法二:,下同證法一.
……10分
證法三:(利用對偶式)設,
,
則.又
,也即
,所以
,也即
,又因為
,所以
.即
………10分
證法四:(數學歸納法)①當時,
,命題成立;
②假設時,命題成立,即
,
則當時,
即
即
故當時,命題成立.
綜上可知,對一切非零自然數,不等式②成立. ………………10分
②由于,
所以,
從而.
也即
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