如圖，點P為斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側棱BB₁上一點，PM⊥BB₁交AA₁于點M，PN⊥BB₁交CC₁于點N.

(1)求證：CC₁⊥MN.

(2)在任意△DEF中，有由余弦定理DE²＝DF²＋EF²－2DF·EFcos∠DFE，拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出一個斜三棱柱的三個側面積與其中兩個側面所成的二面角之間的關系式，并加以證明．

在△ABC中，a，b，c分別為內角A、B、C的對邊，且a²＝b²＋c²＋bc

(1)求A的大�。�

(2)若sinB＋sinC＝1，試求內角B、C的大小.

在△ABC中，下列各式中符合余弦定理的是（    ）
（1）c²＝a²＋b²－2abcos C；（2）c²＝a²－b²－2bccos A；
（3）b²＝a²－c²－2bccos A；（4）cos C＝a²＋b²＋c²－2ab.

A.(1)    B.(2)    C.(3)    D.(4)

在△ABC中，下列各式中符合余弦定理的是（    ）
A.c²＝a²＋b²－2abcos C
B.c²＝a²－b²－2bccos A
C.b²＝a²－c²－2bccos A
D.cos C＝a²＋b²＋c²－2ab

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.

【解析】解法一：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設平面PCD的法向量，

則,即.不防設，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設點E的坐標為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因為，故過點B作CD的平行線必與線段AD相交，設交點為F，連接BE，EF. 故或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.