已知三次函數. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知三次函數f（x）=ax3+bx2+cx（a，b，c∈R）．
（Ⅰ）若函數f（x）過點（-1，2）且在點（1，f（1））處的切線方程為y+2=0，求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若對于區間[-3，2]上任意兩個自變量的值x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|≤t，求實數t的最小值；
（Ⅲ）當-1≤x≤1時，|f′（x）|≤1，試求a的最大值，并求a取得最大值時f（x）的表達式．

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已知三次函數f（x）=x3+ax2-6x+b，a、b為實數，f（0）=1，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處切線的斜率為-6．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若f（x）≤|2m-1|對任意的x∈（-2，2）恒成立，求實數m的取值范圍．

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19、已知三次函數f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-1時取極值，且f（-2）=-4．
（I）求函數y=f（x）的表達式；
（II）求函數y=f（x）的單調區間和極值；
（Ⅲ）若函數g（x）=f（x-m）+4m（m＞0）在區間[m-3，n]上的值域為[-4，16]，試求m、n應滿足的條件．

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已知三次函數f（x）的導函數f′（x）=3x2-3ax，f（0）=b，a、b為實數．
（1）若曲線y=f（x）在點（a+1，f（a+1））處切線的斜率為12，求a的值；
（2）若f（x）在區間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，且1＜a＜2，求函數f（x）的解析式．

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已知三次函數f（x）的導函數為f′（x），且f′（1）=0，f′（2）=3，f′（3）=12．
（Ⅰ）求f（x）-f（0）的表達式；
（Ⅱ）若對任意的x∈[-1，4]，都有f（x）＞f'（x）成立，求f（0）的取值范圍．

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一、選擇題（每小題5分，共60分）

1.D  2.A   3.D   4.D   5.A   6.C   7.B   8.B   9.C   10.A    11.C    12.B

 

二、填空題（每小題5分，共20分）

13.2   14.   15.   16.③④

 

三、解答題（共70分）

17．（本小題滿分10分）

解：（Ⅰ）由  可得：

     又   

 .                                  --------------------------------5分

（Ⅱ），

    

.                                    ---------------------------------10分

 

18．（本小題滿分12分）

解： 設A隊得分為2分的事件為,

（Ⅰ）∴.             ------------------4分

（Ⅱ）設A隊得分不少于2分的事件為M ,  B隊得分不多于2分的事件為N,

由（Ⅰ）得A隊得分為2分的事件為, A隊得分為3分的事件為, 

B隊得分為3分的事件為,

∴         -   ----------------- 9分

  .                    ------------------ 12分

 

19．（本小題滿分12分）

解法一、

（Ⅰ）連結交于點O，

∵平面，平面∩平面

∴

又∵是的中點

∴ 是的中點. ------------------6分

（Ⅱ）作 ，垂足為，連結

      面

平面

      ∴是在平面上的射影

      ∴

      ∴是二面角的平面角

∵，

在直角三角形中，

，

二面角的大小為.   ------------------12分

解法二、

（Ⅰ）建立如圖所示空間坐標系

則,

平面的法向量為由

得,

平面 ,

.

所以點是棱的中點.

（Ⅱ）平面的法向量，設平面的法向量為. 則

二面角的大小為.

 

20．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）由得：，所以等差數列的通項公式為

  .  ------------------------4分

（Ⅱ）由得:

從而

故數列是單調遞增的數列，又因是中的最小項，要使恒成立，

則只需 成立即可，由此解得，由于∈,

故適合條件的的最大值為1.  ------------------------12分

 

21．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）, 是奇函數,其圖象關于原點對稱，

所以函數圖象的對稱中心即為.                         -----------------2分

,其圖象頂點坐標為

所以函數圖象的對稱中心與導函數圖象的頂點橫坐標相同. -----------------4分

（Ⅱ）令得.

當變化時,變化情況如下表:

0

0

極大值

極小值

                                                            

時,有極大值2，

,曲線在點處的切線的斜率.

直線的方程為                                   -----------------6分

曲線在點處的切線的斜率.

直線的方程為

又曲線在點處的切線的斜率.

直線的方程為.

聯立直線的方程與直線的方程, ，解得，

.-----------------10分 

聯立直線的方程與直線的方程, ，解得,

.

,

所以. -----------------12分

圖象如右：

 

 

 

 

 

 

 

22．（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）過點作垂直直線于點

依題意得：，

所以動點的軌跡為是以為焦點，直線為準線的拋物線， 

即曲線的方程是                      ---------------------4分

（Ⅱ）解法一：設、、，則

由知，， ∴，

又∵切線AQ的方程為：，注意到

切線AQ的方程可化為：，

由在切線AQ上， ∴

所以點在直線上；

同理，由切線BQ的方程可得：.

所以點在直線上；

可知，直線AB的方程為：，

即直線AB的方程為：，

∴直線AB必過定點.     ------------------------12分

 

（Ⅱ）解法二：設，切點的坐標為，則

由知，，得切線方程：.

即為：，又∵在切線上，

所以可得：，解之得：.

所以切點，

∴.

故直線AB的方程為：

化簡得：

即直線AB的方程為：

∴直線AB必過定點.

 


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