已知函數。

（1）求函數的最小正周期和最大值；

（2）求函數的增區間；

（3）函數的圖象可以由函數的圖象經過怎樣的變換得到？

【解析】本試題考查了三角函數的圖像與性質的運用。第一問中，利用可知函數的周期為，最大值為。

第二問中，函數的單調區間與函數的單調區間相同。故當，解得x的范圍即為所求的區間。

第三問中，利用圖像將的圖象先向右平移個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的 （縱坐標不變），然后把縱坐標伸長為原來的倍（橫坐標不變），再向上平移1個單位即可。

解：（1）函數的最小正周期為，最大值為。

（2）函數的單調區間與函數的單調區間相同。

 即

所求的增區間為，

即

所求的減區間為，。

（3）將的圖象先向右平移個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的 （縱坐標不變），然后把縱坐標伸長為原來的倍（橫坐標不變），再向上平移1個單位即可。

在平面直角坐標系中，曲線與坐標軸的交點都在圓上．

(1)求圓的方程；

 (2)若圓與直線交于、兩點，且，求的值．

【解析】本試題主要是考查了直線與圓的位置關系的運用。

（1）曲線與軸的交點為(0,1)，

與軸的交點為(3＋2，0)，(3－2，0) 故可設的圓心為(3，t)，則有3²＋(t－1)²＝(2)²＋t²，解得t＝1.

（2）因為圓與直線交于、兩點，且。聯立方程組得到結論。

某港口的水深（米）是時間（，單位：小時）的函數，下面是每天時間與水深的關系表：

經過長期觀測， 可近似的看成是函數，（本小題滿分14分）

（1）根據以上數據，求出的解析式。

（2）若船舶航行時，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪幾段時間可以安全的進出該港？

【解析】第一問由表中數據可以看到：水深最大值為13，最小值為7，，

∴A+b=13,   -A+b=7   解得  A=3,  b=10

第二問要想船舶安全，必須深度，即

∴       

解得： 得到結論。

已知冪函數滿足。

（1）求實數k的值，并寫出相應的函數的解析式；

（2）對于（1）中的函數，試判斷是否存在正數m，使函數，在區間上的最大值為5。若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。

【解析】本試題主要考查了函數的解析式的求解和函數的最值的運用。第一問中利用，冪函數滿足，得到

因為，所以k=0，或k=1，故解析式為

（2）由（1）知，，，因此拋物線開口向下，對稱軸方程為：，結合二次函數的對稱軸，和開口求解最大值為5.，得到

（1）對于冪函數滿足，

因此，解得，………………3分

因為，所以k=0，或k=1，當k=0時，，

當k=1時，，綜上所述，k的值為0或1，�！�……………6分

（2）函數，………………7分

由此要求，因此拋物線開口向下，對稱軸方程為：，

當時，，因為在區間上的最大值為5，

所以，或…………………………………………10分

解得滿足題意

在等差數列{a_n}中，a₁=3，其前n項和為S_n，等比數列{b_n}的各項均為正數，b₁=1，公比為q,且b₂+ S₂=12，.（Ⅰ）求a_n 與b_n；（Ⅱ）設數列{c_n}滿足，求{c_n}的前n項和T_n.

【解析】本試題主要是考查了等比數列的通項公式和求和的運用。第一問中，利用等比數列{b_n}的各項均為正數，b₁=1，公比為q,且b₂+ S₂=12，，可得，解得q=3或q=-4(舍),d=3.得到通項公式故a_n=3+3(n-1)=3n, b_n=3 ^n-1.     第二問中，，由第一問中知道，然后利用裂項求和得到T_n.

解： (Ⅰ) 設：{a_n}的公差為d,

因為解得q=3或q=-4(舍),d=3.

故a_n=3+3(n-1)=3n, b_n=3 ^n-1.                       ………6分

(Ⅱ)因為……………8分