題目列表(包括答案和解析)
設點是拋物線
的焦點,
是拋物線
上的
個不同的點(
).
(1) 當時,試寫出拋物線
上的三個定點
、
、
的坐標,從而使得
;
(2)當時,若
,
求證:;
(3) 當時,某同學對(2)的逆命題,即:
“若,則
.”
開展了研究并發現其為假命題.
請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究:
① 試構造一個說明該逆命題確實是假命題的反例(本研究方向最高得4分);
② 對任意給定的大于3的正整數,試構造該假命題反例的一般形式,并說明你的理由(本研究方向最高得8分);
③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真,請寫出你認為需要補充的一個條件,并說明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由(本研究方向最高得10分).
【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向,則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.
【解析】第一問利用拋物線的焦點為
,設
,
分別過作拋物線
的準線
的垂線,垂足分別為
.
由拋物線定義得到
第二問設,分別過
作拋物線
的準線
垂線,垂足分別為
.
由拋物線定義得
第三問中①取時,拋物線
的焦點為
,
設,
分別過
作拋物線
的準線
垂線,垂足分別為
.由拋物線定義得
,
則,不妨取
;
;
;
解:(1)拋物線的焦點為
,設
,
分別過作拋物線
的準線
的垂線,垂足分別為
.由拋物線定義得
因為,所以
,
故可取滿足條件.
(2)設,分別過
作拋物線
的準線
垂線,垂足分別為
.
由拋物線定義得
又因為
;
所以.
(3) ①取時,拋物線
的焦點為
,
設,
分別過
作拋物線
的準線
垂線,垂足分別為
.由拋物線定義得
,
則,不妨取
;
;
;
,
則,
.
故,
,
,
是一個當
時,該逆命題的一個反例.(反例不唯一)
② 設,分別過
作
拋物線的準線
的垂線,垂足分別為
,
由及拋物線的定義得
,即
.
因為上述表達式與點的縱坐標無關,所以只要將這
點都取在
軸的上方,則它們的縱坐標都大于零,則
,
而,所以
.
(說明:本質上只需構造滿足條件且的一組
個不同的點,均為反例.)
③ 補充條件1:“點的縱坐標
(
)滿足
”,即:
“當時,若
,且點
的縱坐標
(
)滿足
,則
”.此命題為真.事實上,設
,
分別過作拋物線
準線
的垂線,垂足分別為
,由
,
及拋物線的定義得,即
,則
,
又由,所以
,故命題為真.
補充條件2:“點與點
為偶數,
關于
軸對稱”,即:
“當時,若
,且點
與點
為偶數,
關于
軸對稱,則
”.此命題為真.(證略)
A
解析:由題意:等比數列{}有連續四項在集合{-54,-24,18,36,81}中,由等比數列的定義知,四項是兩個正數,兩個負數且|q|>1,故-24, 36, -54,81符合題意,則q=
,6q=-9.
A
解析:由題意:等比數列{}有連續四項在集合{-54,-24,18,36,81}中,由等比數列的定義知,四項是兩個正數,兩個負數且|q|>1,故-24, 36, -54,81符合題意,則q=
,6q=-9.
A
解析:由題意:等比數列{}有連續四項在集合{-54,-24,18,36,81}中,由等比數列的定義知,四項是兩個正數,兩個負數且|q|>1,故-24, 36, -54,81符合題意,則q=
,6q=-9.
設拋物線:
(
>0)的焦點為
,準線為
,
為
上一點,已知以
為圓心,
為半徑的圓
交
于
,
兩點.
(Ⅰ)若,
的面積為
,求
的值及圓
的方程;
(Ⅱ)若,
,
三點在同一條直線
上,直線
與
平行,且
與
只有一個公共點,求坐標原點到
,
距離的比值.
【命題意圖】本題主要考查圓的方程、拋物線的定義、直線與拋物線的位置關系、點到直線距離公式、線線平行等基礎知識,考查數形結合思想和運算求解能力.
【解析】設準線于
軸的焦點為E,圓F的半徑為
,
則|FE|=,
=
,E是BD的中點,
(Ⅰ) ∵,∴
=
,|BD|=
,
設A(,
),根據拋物線定義得,|FA|=
,
∵的面積為
,∴
=
=
=
,解得
=2,
∴F(0,1), FA|=, ∴圓F的方程為:
;
(Ⅱ) 解析1∵,
,
三點在同一條直線
上, ∴
是圓
的直徑,
,
由拋物線定義知,∴
,∴
的斜率為
或-
,
∴直線的方程為:
,∴原點到直線
的距離
=
,
設直線的方程為:
,代入
得,
,
∵與
只有一個公共點,
∴
=
,∴
,
∴直線的方程為:
,∴原點到直線
的距離
=
,
∴坐標原點到,
距離的比值為3.
解析2由對稱性設,則
點關于點
對稱得:
得:,直線
切點
直線
坐標原點到距離的比值為
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